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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Fr 25.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
a) [mm] \integral_{a}^{b}{arctanx dx}
[/mm]
b) [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x}{(x^{2}+1) * \wurzel {x^{2}+1}}dx} [/mm] |
Hallo!
Normalerweise fällt mir ja immer ein ansatz ein, aber diesmal stehe ich echt auf dem schlauch.
[mm] \int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm [/mm] dx = x [mm] \, \arctan \frac{x}{a} [/mm] - [mm] \frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).
[/mm]
Das ist ja die Lösung, also einfach nur für das a=1 eingesetzt.
aber hier geht es darum, wie man da drauf kommt, und leider weiss ich keinen ansatz oder keine umschreibemöglichkeit des arcustangens.
kann mir jemand helfen den umzuschreiben, sodass cih es vielleicht sehe?
b) zur aufgabe b hätte ich gern dieses Produkt im Nenner aufgelöst und habe dafür mit [mm] \wurzel{x^{2}+1} [/mm] erweitert
leider komme ich damit auch nciht wirklich weiter sondern habe dann da stehen:
[mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{x*\wurzel{x^{2}+1}}{x^{4}+2x^{2}+1}dx}
[/mm]
was nicht besser ist meiner meinung nach,
jemand nen gescheiteren ansatz?
danke:)
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Hallo katjap,
> Berechnen Sie die folgenden unbestimmten Integrale:
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> a) [mm]\integral_{a}^{b}{arctanx dx}[/mm]
>
> b) [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x}{(x^{2}+1) * \wurzel {x^{2}+1}}dx}[/mm]
>
> Hallo!
>
> Normalerweise fällt mir ja immer ein ansatz ein, aber
> diesmal stehe ich echt auf dem schlauch.
> [mm]\int \arctan \frac{x}{a} \,\mathrm[/mm] dx = x [mm]\, \arctan \frac{x}{a}[/mm]
> - [mm]\frac{a}{2} \ln\left(a^2 + x^2\right).[/mm]
>
> Das ist ja die Lösung, also einfach nur für das a=1
> eingesetzt.
> aber hier geht es darum, wie man da drauf kommt, und leider
> weiss ich keinen ansatz oder keine umschreibemöglichkeit
> des arcustangens.
> kann mir jemand helfen den umzuschreiben, sodass cih es
> vielleicht sehe?
>
Das Stichwort hier heißt partielle Integration.
>
> b) zur aufgabe b hätte ich gern dieses Produkt im Nenner
> aufgelöst und habe dafür mit [mm]\wurzel{x^{2}+1}[/mm] erweitert
> leider komme ich damit auch nciht wirklich weiter sondern
> habe dann da stehen:
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{x*\wurzel{x^{2}+1}}{x^{4}+2x^{2}+1}dx}[/mm]
>
> was nicht besser ist meiner meinung nach,
>
> jemand nen gescheiteren ansatz?
Substituiere hier [mm]u=x^{2}+1[/mm].
>
> danke:)
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Fr 25.09.2009 | | Autor: | katjap |
zu a) partielle integration sagt mir natuerlich was, soll ich dann den arctan umschreiben als [mm] arc(\bruch{sinx}{cosx}?
[/mm]
aber ich steh grad auf dem schlauch,was ich mit dem arc davor machen muss??? (total verwirrt bin)
b) das mit der Substitution leuchtet ein, allerdings bekomme ich damit ja die wurzel nicht weg,
sondern habe dann stehen
2* [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u*\wuzel{u}} du} [/mm] was ich dann umformen koennte als
2* [mm] \integral_{a}^{b}{\bruch{\wurzel{u}}{u^{2}} du}
[/mm]
leider weiss ich dann wieder nicht weiter. tip?
danke vielmals!
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Hallo katjap,
> zu a) partielle integration sagt mir natuerlich was, soll
> ich dann den arctan umschreiben als
> [mm]arc(\bruch{sinx}{cosx}?[/mm]
Nein.
>
> aber ich steh grad auf dem schlauch,was ich mit dem arc
> davor machen muss??? (total verwirrt bin)
Wähle hier [mm]u'=1, \ v=\arctan\left(x\right)[/mm]
Dann ist
[mm]\integral_{}^{}{1*\arctan\left(x\right) \ dx}=\integral_{}^{}{u'*v \ dx}=u*v-\integral_{}^{}{u*v' \ dx}[/mm]
>
> b) das mit der Substitution leuchtet ein, allerdings
> bekomme ich damit ja die wurzel nicht weg,
> sondern habe dann stehen
>
> 2* [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{u*\wurzel{u}} du}[/mm] was ich
Wenn Du die Wurzel auch noch los werden willst,
dann brauchst Du eine weitere Substitution [mm]u=z^{2}[/mm].
Dies ist dann äquivalent mit der einmaligen Substitution [mm]z=\wurzel{x^{2}+1}[/mm].
> dann umformen koennte als
> 2* [mm]\integral_{a}^{b}{\bruch{\wurzel{u}}{u^{2}} du}[/mm]
>
> leider weiss ich dann wieder nicht weiter. tip?
>
Erinnere Dich an die Potenzgesetze.
>
> danke vielmals!
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 Fr 25.09.2009 | | Autor: | katjap |
stimmt, danke
darauf hätte auch selber kommen koennen. aber an 1* arctanx hatte ich einfach nicht gedacht:(
klar, ne zweite substitution machen ist auch eigtl logisch,
danke auf jeden fall!
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