injektiv, surjektiv, bijektiv < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Mi 02.12.2009 | | Autor: | kosak |
| Aufgabe | Durch die folgende Formel werden Funktionen [mm] \IZ \to \IZ [/mm] definiert:
g(x)= x-3, h(x)= 3x+1, i(x)=x²-1.
Welche der Funktionen ist injektiv, surjektiv oder bijektiv?
Geben sie eine Begründung! |
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# Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
War leider krank und konnte deswegen nicht in die Uni.
Habe jetzt die Aufgaben mir angeschaut und das raus bekommen!Ist das richtig?
g (x)=x-3 ist bijektiv
h(x)=3x+1 ist injektiv
i(x)= x²-1 ist surjektiv
Und die Begründung? Ich meine was muss ich als Begründung geben. Ein Beweis? Kann mir jemand die Begründung zu den drei Aufgaben geben, damit ich weiß wie ich meiene anderen Aufgaben zumachen soll.
Danke schon mal im Vorraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:19 Mi 02.12.2009 | | Autor: | kosak |
Hej Leute!
Falls mir einer schreibt, möchte ich mich jetzt schon mal bedanken, da ich jetzt leider zur uni muss und erst wieder am Abend hier reinschauen werde.
Also Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:22 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Kein Problem!
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:21 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Deine Ergebnisse für g und h stimmen. Aber i ist nicht surjektiv! Denn wann nimmt deine Funktion z.B. -2 als Funktionswert an?
Für Injektivität musst du zeigen:
f(a)=f(b) [mm] \Rightarrow [/mm] a=b
In Worten, wenn 2 Funktionswerte gleich sind, müssen auch ihre Urbilder schon gleich gewesen sein.
Oder anders formuliert: $a [mm] \not= [/mm] b [mm] \Rightarrow [/mm] f(a) [mm] \not= [/mm] f(b)$.
Für g(x) wäre das also: a-3=b-3 [mm] \Rightarrow [/mm] a=b.
Hier musste man einfach nur 3 addieren, daher ist das hier ziemlich witzlos. Bei h ist es auch kaum anders.
Für Surjektivität musst du zeigen:
[mm] \forall [/mm] y [mm] \in \IZ \exists [/mm] x [mm] \in \IZ: [/mm] f(x)=y (in dem Fall hier zumindest).
Wenn du dir also ein beliebiges y vorgibst, musst du dazu ein x finden, sodass f(x)=y gilt.
Beispiel bei g(x):
Sei y [mm] \in \IZ [/mm] beliebig.
Dann muss es ein x geben mit x-3=y. Daraus erhältst du dein x=y+3 [mm] \in \IZ. [/mm] Also findet man zu jedem y ein x mit der gewünschten Eigenschaft. Damit ist g surjektiv.
Bei h(x) wirst du das nicht schaffen und bei i auch nicht.
Und wenn du zeigen willst, dass eine Funktion nicht surjektiv oder nicht injektiv ist, so reicht ein Gegenbeispiel. Das kann man oft leicht am Grafen der Funktion ausfindig machen (was hier aber sicher nicht nötig ist, da hier nur Geraden und Parabeln vorkommen).
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:29 Mi 02.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hi!
> Deine Ergebnisse für g und h stimmen. Aber i ist nicht
> surjektiv! Denn wann nimmt deine Funktion z.B. -1 als
> Funktionswert an?
Für x = 0
Aber sie nimmt den Wert -123456789 nicht an
FRED
>
> Für Injektivität musst du zeigen:
> f(a)=f(b) [mm]\Rightarrow[/mm] a=b
> In Worten, wenn 2 Funktionswerte gleich sind, müssen auch
> ihre Urbilder schon gleich gewesen sein.
> Oder anders formuliert: [mm]a \not= b \Rightarrow f(a) \not= f(b)[/mm].
>
> Für g(x) wäre das also: a-3=b-3 [mm]\Rightarrow[/mm] a=b.
> Hier musste man einfach nur 3 addieren, daher ist das hier
> ziemlich witzlos. Bei h ist es auch kaum anders.
>
> Für Surjektivität musst du zeigen:
> [mm]\forall[/mm] y [mm]\in \IZ \exists[/mm] x [mm]\in \IZ:[/mm] f(x)=y (in dem Fall
> hier zumindest).
> Wenn du dir also ein beliebiges y vorgibst, musst du dazu
> ein x finden, sodass f(x)=y gilt.
>
> Beispiel bei g(x):
> Sei y [mm]\in \IZ[/mm] beliebig.
> Dann muss es ein x geben mit x-3=y. Daraus erhältst du
> dein x=y+3 [mm]\in \IZ.[/mm] Also findet man zu jedem y ein x mit
> der gewünschten Eigenschaft. Damit ist g surjektiv.
> Bei h(x) wirst du das nicht schaffen und bei i auch
> nicht.
>
> Und wenn du zeigen willst, dass eine Funktion nicht
> surjektiv oder nicht injektiv ist, so reicht ein
> Gegenbeispiel. Das kann man oft leicht am Grafen der
> Funktion ausfindig machen (was hier aber sicher nicht
> nötig ist, da hier nur Geraden und Parabeln vorkommen).
>
> Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:31 Mi 02.12.2009 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ups, ja wollte -2 schreiben.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Do 03.12.2009 | | Autor: | kosak |
Danke für die ausführliche Antwort.
Ja bei i(x) war ich mir nicht so sicher.
Dann muss es wohl injektiv sein :)
Gibt es eigentlich auch den Fall, dass es eine Funktion gibt, wo keins von den Drein zutrifft?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Do 03.12.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke für die ausführliche Antwort.
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> Ja bei i(x) war ich mir nicht so sicher.
> Dann muss es wohl injektiv sein :)
Es ist $i(x) = i(-x)$ für jedes x [mm] \in \IZ, [/mm] also ist i nicht injektiv !!
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> Gibt es eigentlich auch den Fall, dass es eine Funktion
> gibt, wo keins von den Drein zutrifft?
Jede Menge. z.B. [mm] $f:\IZ \to \IZ$, [/mm] $f(x) = 3122009$ für jedes x [mm] \in \IZ
[/mm]
FRED
>
> danke
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