injektiv, sujektiv und co. < naiv < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:00 Mo 08.06.2009 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe 1 | Gegeben seien die folgenden Funktionen:
(a) [mm] f_1: \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] : x -> sin(x)
(b) [mm] f_2: \IR [/mm] -> [0, [mm] \infty) [/mm] : x -> [mm] x^2
[/mm]
(c) [mm] f_3: [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] : [mm] \IR [/mm] : x -> [mm] \wurzel{x}.
[/mm]
Überprüfen Sie, welche dieser Funktionen injektiv, surjektiv und bijektiv sind. |
| Aufgabe 2 | | Schränken Sie den Definitions- und Bildbereich der Funktion [mm] f_1, f_2 [/mm] und [mm] f_3 [/mm] aus Aufgabe 1 sinnvoll so ein, dass die Funktionen bijektiv werden. Geben Sie die Umkehrfunktionen samt Definitions- und Wertebereich an. |
Mein Lösungsweg zu 1):
[mm] f_1: [/mm] nicht surjektiv, da nicht alle Zahlen der Zielmenge genutzt werden, nicht injektiv, da Werte aus der Zielmenge mehrfach vorkommen können
[mm] f_2: [/mm] surjektiv, da alle Werte der Zielmenge genutzt werden, aber nicht injektiv, da Werte mehrfach vorkommen
[mm] f_3: [/mm] bijektiv
Zu 2):
[mm] f_1: [\bruch{\pi}{2}, \bruch{3\pi}{2}] [/mm] -> [-1, 1]: x -> sin(x)
[mm] f_2: [/mm] [0, [mm] \infty) [/mm] -> [0, [mm] \infty) [/mm] : x -> [mm] x^2
[/mm]
[mm] f_3: [/mm] ist schon bijektiv.
Meine Frage:
1) Wie geht das mit der Umkehrfunktion?
2) Ist mein Lösungweg richtig und wenn nicht, warum?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:54 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Fulla |
Hallo hilado,
zu 1)
[mm] $f_3$ [/mm] ist nicht surjektiv.
zu 2)
Schränke [mm] $f_1$ [/mm] doch so ein: [mm] $f_1: [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\longrightarrow [/mm] [-1,1]$ - dann ist die Umkehrfunktion [mm] $f^{-1}_1: [-1,1]\longrightarrow [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ [/mm] mit [mm] $f^{-1}_1(x)=\arcsin(x)$
[/mm]
Was sind denn die Umkehrfunktionen von [mm] $x^2$ [/mm] bzw. [mm] $\sqrt{x}$? [/mm] Da kommst du doch selbst drauf....
Schreibe z.B. bei [mm] $f_2$: $y=x^2$ [/mm] und löse nach $x$ auf. Wenn du Definitions- und Bildbereich der Funktion richtig eingeschränkt hast, solltest du beim Vertauschen der beiden eine wohldefinierte Funktion erhalten. (Definitionsbereich der Funktion = Bildbereich der Unkehrfunktion und umgekehrt).
Lieben Gruß,
Fulla
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