induktion, ungleichung, summe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:42 Do 08.11.2007 | | Autor: | gossyk |
| Aufgabe | | [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] mit n [mm] \ge [/mm] 2: [mm] \summe_{i=2}^{n} \vektor{n \\ n-i} (-\bruch{2}{3})^i [/mm] > [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm] |
hallo, ich komme hierbei nicht weiter.
denke dass hier die vollständige induktion anzuwenden ist.
induktionsanfang: für n=2 stimmt es.
dann komme ich zu:
[mm] \summe_{i=2}^{n} \vektor{n \\ n-i} (-\bruch{2}{3}^i) [/mm] + [mm] (-\bruch{2}{3})^{n+1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm] * [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
an dieser stelle vermute ich jedenfalls müsste ich die induktionsannahme verwenden um weiter zu kommen. ich habe versucht [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm] für die summe in meinem induktionsschluss einzusetzen, musste aber feststellen dass die ungleichung dann für n=2 nicht mehr gültig ist...
eine andere idee kam mir trotz langem nachdenkens leider immnoch nicht :O
kann mir jemand sagen wie ich hier weiterkomme?
vielen dank im voraus
mfg
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:59 Do 08.11.2007 | | Autor: | gossyk |
$ [mm] \summe_{i=2}^{n} \vektor{n \\ n-i} (-\bruch{2}{3})^i [/mm] $ + $ [mm] (-\bruch{2}{3})^{n+1} [/mm] $ > $ [mm] \bruch{1}{3^n} [/mm] $ * $ [mm] \bruch{1}{3} [/mm] $
hatte mich vertipt so wollte ich es eigentlich schreiben
|
|
|
| |
|
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] mit n [mm]\ge[/mm] 2: [mm]\summe_{i=2}^{n} \vektor{n \\ n-i} (-\bruch{2}{3})^i[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{3^n}[/mm]
Hallo,
das kannst Du ohne Induktion machen, das Stichwort ist "Binomischer Satz".
Bedenke folgendes: [mm] \vektor{n \\ n-i}=\vektor{n \\ i}
[/mm]
und [mm] (-\bruch{2}{3})^i= 1^{n-i}*(-\bruch{2}{3})^i.
[/mm]
Mehr will ich erstmal nicht verraten, sonst macht es keinen Spaß mehr.
Gruß v. Angela
|
|
|
|
