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Hallöchen!
Ich soll ein referate n Mathe-Lk halten.
Dazu mussich mit der vollständigen Induktion die richtigkeit folgender Formel beweisen:
[mm] 1^2+2^2+3^2+...n^2=(1/6)n(n+-)(2n+1)
[/mm]
Ich habe zwar Ansätze im Netz gefunden allerings sind die immer für irgendein bestimmtes Programm.
Bitte um hilfe.
JohannaIch habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Johanna935 |
ich bin es nochmal. natürlich sollte die formel folgender maßen Lauten:
[mm] 1^2+2^2+3^2+...n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)
[/mm]
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Hallo, Johanna935
Die formel stimmt für n=1 ( hast Du sicher Überprüft )
nun
nimn an, sie stimmt für n
wenn
Du nun (n+1)² addiertst [ zu (1/6)n(n+1)(2n+1) ] und das der Formel für n+1
entspricht ist sie für alle n bewiesen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mi 02.02.2005 | | Autor: | Youri |
> Hallöchen!
Hallo Johanna!
Falls es noch niemand gesagt haben sollte: ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Dazu mussich mit der vollständigen Induktion die
> richtigkeit folgender Formel beweisen:
> [mm]1^2+2^2+3^2+...n^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2*n+1)[/mm]
Schau doch mal nach, was Informix zum Thema  Induktion notiert hat - dort findest Du Hinweise zur Vorgehensweise.
In Deinem Fall:
Du musst erst überprüfen, ob diese Aussage für [mm]n=1[/mm]
Gültigkeit hat.
Induktionsanfang:
A(1): [mm] 1^2=1=\bruch{1}{6}*1*(1+1)*(2*1+1)=\bruch{1}{6}*1*2*3=1 [/mm]
Also - die Aussage stimmt für [mm]n=1[/mm].
Bei der Induktion nimmst Du nun an, dass diese Aussage für n stimmt.
Zu überprüfen ist im Induktionsschritt, dass unter der Annahme, dass diese Aussage für n gültig ist, sie auch für n+1 gültig ist.
Also:
Induktionsschritt n -> n+1:
z.z. [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2=\bruch{1}{6}*(n+1)*((n+1)+2)*(2*(n+1)+1)[/mm]***
Du musst jetzt zeigen, dass die rechte Seite der Gleichung wirklich das Ergebnis ist, indem Du auf Deine Induktionsannahme zurückgreifst.
Nach dieser Annahme weißt Du, dass für n folgendes gilt:
[mm] \summe_{i=1}^{n}i^2=\bruch{1}{6}*n*(n+1)*(2*n+1)[/mm]
Wie unterscheidet sich dieser Term nun von der Summe
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}i^2 [/mm] ?
Es gibt hier einen Summanden mehr, nämlich [mm](n+1)^2[/mm]
Kannst Du mithilfe Deiner Induktionsannahme diese zweite Summe so umformulieren, dass die Gleichheit mit *** offensichtlich wird?
Ich würde Dir empfehlen beide Terme auszumultiplizieren - und dann mal zu vergleichen...
Viel Erfolg und lieben Gruß,
Andrea.
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
