indirekter beweis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
Ich habe die aufgabe dzu lösen:
beweisen sie indirekt : w(x)= [mm] \wurzel{x} [/mm] , x [mm] \ge [/mm] 0 ist streng monoton wachsend.
Was wird hier von mir erwartet? Bzw. was ist ein indirekter Beweis?
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Hallo rotespinne,
> beweisen sie indirekt : [mm]w\left(x\right) = \wurzel{x},\;x \ge 0[/mm] ist streng monoton wachsend.
> Was wird hier von mir erwartet? Bzw. was ist ein indirekter
> Beweis?
Du mußt hier einen Widerspruchsbeweis führen. Wir nehmen an, daß [mm] $w\!$ [/mm] nicht streng monoton wachsend ist. [mm] $w\!$ [/mm] wäre dann entweder monoton fallend oder es läge keine Monotonie vor (ist z.B. bei konstanten Funktion der Fall). Jetzt betrachten wir die erste Ableitung von [mm] $w\!$: $w'\left(x\right) [/mm] = [mm] \tfrac{1}{2}\tfrac{1}{\sqrt{x}}$. [/mm] Jetzt müssen wir schauen, was für diese Ableitung gilt und betrachten die Fälle "Ableitung < 0" und "Ableitung = 0":
[m]\tfrac{1}{{2\sqrt x }} < 0 \Rightarrow 1 < 0[/m], was ein Widerspruch ist. Also kann [mm] $w\!$ [/mm] nicht monoton fallend sein. Aber vielleicht liegt gar keine Monotonie vor?
[m]\tfrac{1}{{2\sqrt x }} = 0 \Rightarrow 1 = 0[/m]; Auch das ist ein Widerspruch. Als muß [mm] $w\!$ [/mm] streng monoton steigend sein:
[m]\frac{1}{{2\sqrt x }} > 0 \Rightarrow 1 > 0 \Rightarrow 2\sqrt x > 0 \Rightarrow \sqrt x > 0 \Rightarrow x > 0[/m].
Viele Grüße
Karl
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Vielen dank für die schnelle antwort. aber ich habe eine frage zu dieser lösung:
in der mitte steht nun:
[mm] \bruch{1}{2 \wurzel{x}}< [/mm] 0 --> 1 < 0.
wo kommt denn die 1 her? da kann ich leider nicht so richtig folgen :( danke
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Hallo rotespinne,
> in der mitte steht nun:
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> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}}< 0 \Rightarrow 1 < 0[/mm].
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> wo kommt denn die 1 her? da kann ich leider nicht so
> richtig folgen :( danke
Ich versuch's etwas ausführlicher: [m]\textstyle\frac{1}{{2\sqrt x }} < 0\stackrel{\cdot{}2\sqrt x}{\Rightarrow} \frac{{2\sqrt x }}{{2\sqrt x }} < 0\cdot{}2\sqrt x \Rightarrow 1 < 0[/m].
Nach dem Kürzen sieht man den Widerspruch, würde ich stattdessen über '>' argumentieren, so funktioniert das wie folgt:
[m]\frac{1}{{2\sqrt x }} > 0\mathop \Rightarrow \limits^{*2\sqrt x } \frac{{2\sqrt x }}
{{2\sqrt x }} > 0*2\sqrt x \Rightarrow 1 > 0\mathop \Rightarrow \limits^{*2\sqrt x } 1*2\sqrt x > 0*2\sqrt x \Rightarrow 2\sqrt x > 0 \Rightarrow \cdots[/m]
Viele Grüße
Karl
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