homogenes LGS / det= 0 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:25 Mo 02.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | Für ein lineares , homogenes Gleichungssystem
[mm] ax_{1}+ bx_{2}=0
[/mm]
[mm] cx_{1}+ dx_{2}=0
[/mm]
definieren wir die Determinante det=ad-bc.
Zeigen Sie: Die Gleichungen sind genau dann Vielfache von einander, wenn
det=0 gilt. |
Hallo,
man weiß, dass das homogene LGS mindestens die triviale Lösung
[mm] (x_{1},x_{2})=(0,0) [/mm] hat. Wenn man diese Lösung in die Gleichungen einsetzt , dann ist die linke und die rechte Seite gleich null. Daraus muss
jedoch nicht gefolgert werden, dass ad-bc=0 ist. Oder? Denn , man kann mit der Lösung [mm] (x_{1},x_{2})=(0,0) [/mm] beliebige Werte für a,b,c,d setzen.
Ist das ein Gegenbeispiel?
Danke und Gruss !
Igor
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Hi, Igor,
> Für ein lineares , homogenes Gleichungssystem
> [mm]ax_{1}+ bx_{2}=0[/mm]
> [mm]cx_{1}+ dx_{2}=0[/mm]
>
> definieren wir die Determinante det=ad-bc.
>
> Zeigen Sie: Die Gleichungen sind genau dann Vielfache von
> einander, wenn
> det=0 gilt.
> man weiß, dass das homogene LGS mindestens die triviale
> Lösung
> [mm](x_{1},x_{2})=(0,0)[/mm] hat. Wenn man diese Lösung in die
> Gleichungen einsetzt , dann ist die linke und die rechte
> Seite gleich null. Daraus muss
> jedoch nicht gefolgert werden, dass ad-bc=0 ist. Oder?
> Denn , man kann mit der Lösung [mm](x_{1},x_{2})=(0,0)[/mm]
> beliebige Werte für a,b,c,d setzen.
Vermutlich denkst Du zu kompliziert!
Du sollst doch lediglich zeigen, dass die Determinante =0 wird,
wenn die Gleichungen Vielfache voneinander sind und umgekehrt.
Dazu würd' ich den Fall a=0 vorwegnehmen und anschließend den Fall a [mm] \not=0 [/mm] beweisen.
Dazu ein paar Hinweise von mir:
Wenn die Gleichungen Vielfache voneinander sind, dann gibt es ein k [mm] \not=0 [/mm] so,
dass c = k*a und d = k*b.
Wenn Du nun die 1. Gleichung nach k auflöst und in die 2. Gleichung (d = k*b)
einsetzt, kriegst Du nach Umformung wie gewünscht: ad - bc = 0.
Den Rest kriegst Du auch noch hin!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 03.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Zwerglein,
wie kommt man auf c=k*a und d=k*b ? Wie leitet man das her?
Danke und Gruss !
Igor
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Hi, Igor,
> wie kommt man auf c=k*a und d=k*b ? Wie leitet man das her?
Der Beweis für die eine Richtung ist doch:
"Die beiden Gleichungen sind Vielfache voneinander => ad - bc = 0 "
Also: Gleichung (II) ist Vielfaches - z.B. k-Faches - von Gleichung (I)
(II) = k* (I)
Womit sich automatisch c = k*a und d = k*b ergibt!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 Di 03.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo Zwerglein,
Du schreibst, dass das sich "automatisch" ergibt. Die Frage ist : durch
Koeffizientenvergleich ? (Koeffizientenvergleich kenne ich nur bei Polynomen) . Also erstmal steht da : [mm] kax_{1} [/mm] + [mm] kbx_{2}=cx_{1}+dx_{2}.
[/mm]
Wie man auf c=ka und d=kb kommt, kann ich nicht sofort sehen.
Nochmal Danke und Gruss!
Igor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:06 Di 03.11.2009 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Hallo Zwerglein,
>
> Du schreibst, dass das sich "automatisch" ergibt. Die Frage
> ist : durch
> Koeffizientenvergleich ? (Koeffizientenvergleich kenne ich
> nur bei Polynomen) . Also erstmal steht da :
> [mm] \red{ka}x_{1}+kbx_{2}=\red{c}x_{1}+dx_{2}
[/mm]
links steht [mm] x_1 [/mm] und rechts steht [mm] x_1 [/mm] und die Koeffizienten sind einmal [mm] \red{ka} [/mm] und einmal [mm] \red{c} [/mm] -- also ka=c
> Wie man auf c=ka und d=kb kommt, kann ich nicht sofort
> sehen.
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 03.11.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
erstmal,gibt es einen Beweis dazu, dass man die Koeffizienten einfach vergleichen kann?
Ist die Lösung dabei eindeutig , d.h nehmen wir an, dass c=ka ; kann es dann sein , dass c noch irgendwelche Werte annehmen kann?
Gruss
Igor
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Hi, Igor,
die beiden Gleichungen sind Vielfache voneinander, wenn sie
FÜR ALLE WERTEPAARE [mm] (x{1};x_{2}) [/mm]
Vielfache voneinander sind.
Insofern ist das dasselbe wie beim Koeffizientenvergleich von Polynomen.
mfG!
Zwerglein
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