homogene lin DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Di 04.08.2009 | | Autor: | uecki |
| Aufgabe | Eine Lösung des homogenen Systems ergibt sich aus einer Stammfunktion von a(x):
[mm] y_{h}= e^{\integral_{ }^{ }{a(x) dx}
y_{h}_{ableitung}=a(x)*y_{h}}
[/mm]
Alle Vielfachen sind ebenfalls Lösung:
z(x)= [mm] C*e^{\integral_{ }^{ }{a(x) dx}} [/mm] C [mm] \in [/mm] R.
Die Menge z(x;C) enthält alle Lösungen. Wir zeigen, dass eine beliebige Lösung der homogenen Gleichung [mm] y=y_{h} [/mm] über einen konstanten Faktor mit einer Lösung vom Typ z mit C [mm] \not= [/mm] 0 verbunden ist. Die Ableitung des Quotienten aus beiden Lösungen y und z muss dann Null sein. Wir untersuchen den Quotienten y/z :
d/d*x * y/z = [mm] (y_{ableitung} [/mm] *z - [mm] y*z_{ableitung})/z^2 [/mm] = (z*a*y - [mm] y*a*z)/z^2 [/mm] = 0
a - zeitabhängiger Entwicklungskoeffizient
s - Störfunktion |
Hallo :)
Also, hier verstehe ich so einiges nicht.
1. Warum hat man immer e in der homogenen Lösung von DGL´s ?
2. Oben wollen wir ja nur zeigen, dass y und z im Prinzip das Gleiche sind (wenn ich es richtig verstanden hab) und das machen wir, indem wir den Quotienten bilden, denn ein Quotient gibt das Verhältnis der beiden Größen wieder. Aber warum nehmen wir die Ableitung des Quotienten ???
Das sind erstmal die beiden wichtigsten Fragen. Hoffe mir kann jemand helfen. Sage schon mal Danke im Voraus :)
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
Also, so wie ich das sehe, ist das keine "Aufgabe" sondern ein Ausschnitt aus der Vorlesungsmitschrift?
Die Aussage, die man hier anscheinend beweisen will ist sowas:
"Die Lösung von $y'(t)=a(t)y(t)$ hat immer die Gestalt [mm] $y(t)=e^{\int a(\tau)d\tau}$."
[/mm]
Warum das so ist, wird hier ja gerade erklärt, daher finde ich die 1. Frage zum einen schwammig formuliert, zum anderen zu unkonkret. Warum dieses so definierte $y(t)$ eine spezielle Lösung ist, ist hoffentlich klar? (einfach einmal differenzieren, schon steht's da)
Zur 2. Frage: Du willst zeigen, dass diese Spezielle Lösung, die man gefunden hat, sich von einer allgemeinen Lösung höchstens um so eine Kleinigkeit wie einen Konstanten Faktor unterscheidet. Du willst also zeigen, dass der Quatient konstant ist. Um zu zeigen, dass etwas konstant ist, kann man es ableiten und 0 rausbekommen. Denn nur konstanten werden zu 0 abgeleitet. Das rechnet man hier einfach nach, und stellt fest: ja, da kommt tatsächlich 0 raus, also ist der Quotient konstant.
Ich hoffe mal es ist etwas klarer geworden...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Di 04.08.2009 | | Autor: | uecki |
> Also, so wie ich das sehe, ist das keine "Aufgabe" sondern
> ein Ausschnitt aus der Vorlesungsmitschrift?
>
Ja :)
> Die Aussage, die man hier anscheinend beweisen will ist
> sowas:
> "Die Lösung von [mm]y'(t)=a(t)y(t)[/mm] hat immer die Gestalt
> [mm]y(t)=e^{\int a(\tau)d\tau}[/mm]."
> Warum das so ist, wird hier
> ja gerade erklärt, daher finde ich die 1. Frage zum einen
> schwammig formuliert, zum anderen zu unkonkret. Warum
> dieses so definierte [mm]y(t)[/mm] eine spezielle Lösung ist, ist
> hoffentlich klar? (einfach einmal differenzieren, schon
> steht's da)
>
Dann verstehe ich die Erklärung einfach nicht. Es ist also lediglich vorgegeben das die homogene Lösung einer DGL immer die Form [mm] e^{...} [/mm] haben soll? Aber warum eben immer dieses e ?
Ich verstehe nicht warum, denn wenn ich doch z.B. die DGL [mm] y_{ableitung}= [/mm] 3*x - 3*y gegeben habe.
Nun möchte ich die homogene Lösung bestimmen:
[mm] y_{h}_{ableitung}=-3*y [/mm] dann ist
[mm] y_{h} [/mm] = [mm] C*e^{\integral_{ }^{ }{-3 dx}} [/mm] = [mm] C*e^{-3*x}
[/mm]
Aber wenn ich jetzt [mm] y_{h} [/mm] ableite so wie es da steht, kommt bei mir nicht wieder -3*y raus....
> Zur 2. Frage: Du willst zeigen, dass diese Spezielle
> Lösung, die man gefunden hat, sich von einer allgemeinen
> Lösung höchstens um so eine Kleinigkeit wie einen
> Konstanten Faktor unterscheidet. Du willst also zeigen,
> dass der Quatient konstant ist. Um zu zeigen, dass etwas
> konstant ist, kann man es ableiten und 0 rausbekommen. Denn
> nur konstanten werden zu 0 abgeleitet. Das rechnet man hier
> einfach nach, und stellt fest: ja, da kommt tatsächlich 0
> raus, also ist der Quotient konstant.
Ok, habe ich vestanden :) Danke
>
> Ich hoffe mal es ist etwas klarer geworden...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Di 04.08.2009 | | Autor: | Andrey |
> Es ist also
> lediglich vorgegeben das die homogene Lösung einer DGL
> immer die Form [mm]e^{...}[/mm] haben soll? Aber warum eben immer
> dieses e ?
Es ist nicht vorgegeben, es ist die Aussage des Satzes, den du grad beweist! Um zu verstehen, warum das so ist, musst du es ja beweisen...
> Nun möchte ich die homogene Lösung bestimmen:
>
> [mm]y_{h}_{ableitung}=-3*y[/mm] dann ist
> [mm]y_{h}[/mm] = [mm]C*e^{\integral_{ }^{ }{-3 dx}}[/mm] = [mm]C*e^{-3*x}[/mm]
>
>
> Aber wenn ich jetzt [mm]y_{h}[/mm] ableite so wie es da steht, kommt
> bei mir nicht wieder -3*y raus....
Was soll denn da sonst rauskommen?
[mm] $y_h=Ce^{-3x}$ [/mm] ist doch offenbar eine Lösung von [mm] $y'_h=-3y_h$, [/mm] und mehr will man doch erstmal auch nicht.
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