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| Aufgabe | Ein Polynom heißt homogen, falls sämtliche Monome, aus denen das Polynom besteht den gleichen Grad haben.
Sei K ein Körper. Sei [mm] $p\inK[x_1,\ldots x_n]$. [/mm] Die Homogenisierung von p ist [mm] $$x_0^dp(x_1/x_0,\ldots ,x_n/x_0)\in K[x_0,\ldots ,x_n]$$ [/mm] wobei d der Grad von p ist.
Sei [mm] $$p:=\sum{c_{d_1,\ldots ,d_n}x_1^{d_1}\ldots x_n^{d_n}}\in K[x_1, \ldots ,x_n]$$ [/mm] mit GradP=d. Zeigen Sie, dass die Homogenisierung von p gleich [mm] $$\sum{c_{d_1,\ldots ,d_n}x_0^{d-\sum{d_i}}x_1^{d_1},\ldots ,x_n^{d_n}}\inK[x_0,\ldots x_n]$$ [/mm] ist.
Finden Sie die Homogenisierung von [mm] $$1+x_1^2x_2^2+x_1^2x_2^4+x_1^4x_2^2\in\mathbb{R}[x_1,x_2]$$ [/mm] und [mm] $$1+x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2-4x_1x_2x_3\in\mathbb{R}[x_1,x_2,x_3].$$ [/mm] |
Guten Tag alle miteinander,
ich bin gerade beim Bearbeiten dieser Aufgabe.
Die Homogenisierung der Polynome habe ich schon gemacht.
Für die Homogenisierung des 1. Polynoms erhalte ich:
[mm] $$x_0^6+x_0^2x_1^2x_2^2+x_1^2x_2^4+x_1^4x_2^2\in\mathbb{R}[x_0,x_1,x_2]$$
[/mm]
Es gilt: [mm] $$\deg(x_0^6)=\deg(x_0^2x_1^2x_2^2)=\deg(x_1^2x_2^4)=\deg(x_1^4x_2^2)=6$$, [/mm] somit ist das Polynom homogen.
Für das zweite Polynom erhalte ich:
[mm] $$x_0^4+x_1^2x_2^2+x_2^2x_3^2+x_1^2x_3^2-4x_0x_1x_2x_3\in\mathbb{R}[x_0,x_1,x_2,x_3].$$
[/mm]
mit [mm] $$\deg(x_0^4)=\deg(x_1^3x_2^2)=\deg(x_2^2x_3^2)=\deg(x_1^2x_3^2)=\deg(4x_0x_1x_2x_3)=4$$ [/mm] und somit homogen.
Bei dem ersten zeigen sie, dass ... Homogenisierung von p ist habe ich aber leider meine Probleme.
Ich verstehe die Notation nicht ganz.
Was ist hier [mm] $(x_1/x_0)$? [/mm] und die Summendarstellung verstehe ich auch nicht ganz, mit [mm] $c_{d_1,\ldots d_n}.
[/mm]
Wie würde diese ausgeschrieben lauten? Etwa so: [mm] p:=\sum{c_{d_1,\ldots ,d_n}x_1^{d_1}\ldots x_n^{d_n}}=c_ {d_1}x_1^{d_1}\ldots x_n^{d_n}+c_{d_2}x_1^{d_1}\ldots x_n^{d_n}\ldots$$
[/mm]
Aber das kann ja nicht sein, wegen den Exponenten.
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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Ist diese erste Darstellung der Homogenisierung vielleicht so zu verstehen:[mm]x_0^dp(x_1/x_0,\ldots ,x_n/x_0)=x_0^d*p(\frac{x_1}{x_0},\frac{x_2}{x_0},\ldots ,\frac{x_n}{x_0})[/mm]
Beim ersten Polynom hätten wir dadurch dann ja:
Homogenisierung von $ [mm] 1+x_1^2x_2^2+x_1^2x_2^4+x_1^4x_2^2$ [/mm] ist
[mm] $x_0^6*\left(\frac{1}{x_0^6}+(\frac{x_1}{x_0})^2*(\frac{x_2}{x_0})^2+(\frac{x_1}{x_0})^2*(\frac{x_2}{x_0})^4+(\frac{x_1}{x_0})^4*(\frac{x_2}{x_0})^2\right)= x_0^6+x_0^2x_1^2x_2^2+x_1^2x_2^4+x_1^4x_2^2$
[/mm]
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Ich habe mir gerade überlegt, ob es vielleicht nicht einfach reicht zu sagen:
Die Monome des Polynoms $ \sum{c_{d_1,\ldots ,d_n}x_0^{d-\sum{d_i}}x_1^{d_1},\ldots ,x_n^{d_n}}\inK[x_0,\ldots x_n] $ sind ja genau diese Summanden der Summe. Diese haben immer den Grad:
$\deg\left(c_{d_1,\ldots ,d_n}x_0^{d-\sum{d_i}}x_1^{d_1},\ldots ,x_n^{d_n}} \right) =d-\left( \sum{d_i}\right)+d_1+d_2+\ldots +d_n=d-\sum{d_i}+\sum{d_i}=d$
Somit haben alle Monome den Grad d und somit ist das Polynom homogen.
Aber heißt das jetzt auch automatisch, dass es die Homogenisierung von p ist?
Vielen Dank
Liebe Grüße
DudiPupan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 17.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 So 16.12.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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