homogene DGL 2. Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:47 Do 17.11.2011 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Der gedämpfte harmonische Oszillator erfüllt die Differentialgleichung:
$ x''(t)+bx'(t)+kx(t)=0 $
1. Finden sie alle Werte für b und k, so dass das zugehörige System erster Ordnung reelle und verschieden Eigenwerte besitzt.
2. Berechnen Sie für diesen Fall die allgemeine Lösung.
3. Finden Sie die Lösung, welche die Anfangsbedingung [mm] X(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm] erfüllt |
Okay, weiss jetzt nich in wie weit ich das schon richtig verstanden habe..
i) mit [mm] x(t)=A*e^{\lambda*t} [/mm] ergibt sich die charakteristische Gleichung:
[mm] \lambda^2+b*\lambda+k=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \lambda_1=-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k} [/mm] und [mm] \lambda_2=-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k}
[/mm]
Also sind die Eigenwerte reell und verschieden wenn gilt:
[mm] \bruch{b^2}{4}>k [/mm] denn damit ist der Term unter der Wurzel > 0.
Soweit ok?
ii) Allgemeine Lösung ist dann doch gegeben mit:
[mm] x(t)=C_1*e^{(-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})x}+C_2*e^{(-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})x}
[/mm]
richtig??
iii) So.. [mm] X(0)=\vektor{1 \\ 0} [/mm] heisst jetzt x(0)=1 und x'(0)=0, oder?
Damit käme ich aber auf folgendes:
x(0)=1 [mm] \Rightarrow C_1+C_2=1
[/mm]
x'(0)=0 [mm] \Rightarrow C_1*(-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})+C_2*(-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})
[/mm]
Oder ist das kompletter murks? Irgendwie tue ich mich schwer damit, [mm] C_1 [/mm] und [mm] C_2 [/mm] hier so zu bestimmen, dass beide Gleichungen erfüllt sind.
Danke schonmal fürs drüber schauen!
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> Der gedämpfte harmonische Oszillator erfüllt die
> Differentialgleichung:
>
> [mm]x''(t)+bx'(t)+kx(t)=0[/mm]
>
> 1. Finden sie alle Werte für b und k, so dass das
> zugehörige System erster Ordnung reelle und verschieden
> Eigenwerte besitzt.
>
> 2. Berechnen Sie für diesen Fall die allgemeine Lösung.
>
> 3. Finden Sie die Lösung, welche die Anfangsbedingung
> [mm]X(0)=\vektor{1 \\ 0}[/mm] erfüllt
> Okay, weiss jetzt nich in wie weit ich das schon richtig
> verstanden habe..
>
> i) mit [mm]x(t)=A*e^{\lambda*t}[/mm] ergibt sich die
> charakteristische Gleichung:
>
> [mm]\lambda^2+b*\lambda+k=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow \lambda_1=-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k}[/mm]
> und [mm]\lambda_2=-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k}[/mm]
>
> Also sind die Eigenwerte reell und verschieden wenn gilt:
>
> [mm]\bruch{b^2}{4}>k[/mm] denn damit ist der Term unter der Wurzel >
> 0.
>
> Soweit ok?
ja
>
> ii) Allgemeine Lösung ist dann doch gegeben mit:
>
> [mm]x(t)=C_1*e^{(-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})x}+C_2*e^{(-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})x}[/mm]
>
> richtig??
ja
>
> iii) So.. [mm]X(0)=\vektor{1 \\ 0}[/mm] heisst jetzt x(0)=1 und
> x'(0)=0, oder?
ja
>
> Damit käme ich aber auf folgendes:
>
> x(0)=1 [mm]\Rightarrow C_1+C_2=1[/mm]
>
> x'(0)=0 [mm]\Rightarrow C_1*(-\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})+C_2*(-\bruch{b}{2}-\wurzel{\bruch{b^2}{4}-k})[/mm]
>
> Oder ist das kompletter murks? Irgendwie tue ich mich
> schwer damit, [mm]C_1[/mm] und [mm]C_2[/mm] hier so zu bestimmen, dass beide
> Gleichungen erfüllt sind.
Aus der ersten Gleichung bekommst du [mm] C_2=1-C_1, [/mm] was du im die zweite Gleichung einsetzen kannst ....
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> Danke schonmal fürs drüber schauen!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 Do 17.11.2011 | | Autor: | chesn |
Ahh.. danke! ich bin manchmal so blind nach nem tag am schreibtisch.. ;)
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dann erhalte ich umgestellt für [mm] C_1=\bruch{\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}{2*\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}
[/mm]
stimmt das?
mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> dann erhalte ich umgestellt für
> [mm]C_1=\bruch{\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}{2*\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}[/mm]
>
> stimmt das?
>
Da hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]C_1=\bruch{\blue{-}\bruch{b}{2}+\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}{2*\wurzel{\bruch{b^2}{2}-k}}[/mm]
> mathegirl
Gruss
MathePower
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