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| Aufgabe | | Man gebe an, für welche a,b [mm] \in \IR [/mm] das Polynom [mm] x^{2}+2axy+by^{2} [/mm] Realteil einer holomorphen Funktion auf [mm] \IC [/mm] ist unb bestimme für jedes solche (a,b) alle diese holomoprhen Funktionen. |
Das ganze soll wohl mit Hilfe der Cauchy-Riemann-DGL gelöst werden.
Also sage ich Re{f(x+iy)} = u(x,y) und Im{f(x+iy)} = v(x,y)
Da dieses Polynom der Realteil sein soll setzte ich
u(x,y) = [mm] x^{2}+2axy+by^{2} [/mm] aus den C-R-DGL weiß ich
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x} [/mm] = 2x+2ay = [mm] \bruch{\partial v}{\partial y} [/mm] und ebenso [mm] \bruch{\partial u}{\partial y} [/mm] = 2ax+2by = [mm] -\bruch{\partial v}{\partial x}
[/mm]
aber jetzt weiß ich nicht ganz was ich damit machen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Mi 17.08.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo Rechenfehler,
zunächst einmal ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]") .
Die C-R-Dgl stellt ja gerade den Bezug zwischen dem Real- und dem Imaginärteil einer holomorphen Funktion her.
Du hast die Lösung selbst schon angegeben, einmal integrieren musst Du allerdings noch.
Ich schreibe es hier für den ersten Term noch mal hin. Wie würdest Du wohl folgende DGL lösen:
[mm] 2x + 2ay = \bruch{\partial{v}}{\partial{y}} [/mm]
Nach y integrieren das Ganze.
Dieselbe Prozedur machst Du mit Deinem zweiten Term, nur dass dieser nach x integriert wird. Anschließend beide Ausdrücke miteinander vergleichen und hieraus den Imaginärteil bestimmen.
Viel Spaß dabei,
Infinit
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nach integrieren und gleichsetzten komme ich auf
v(x,y) = [mm] 2xy+ay^{2} [/mm] = [mm] -(ax^{2}+2by) \Rightarrow [/mm] v(x,y) = [mm] 2xy+a(y^{2}+x^{2})-2by [/mm] = 0 Jetzt hab ich v(x,y) auch durch ein Polynom beschrieben aber Ich versteh nicht so recht was mir das sagt. Eigentlich sollte das ja jetzt der Imaginärteil der Funktion sein. Also ist f(z) = u(x,y)+iv(x,y)? Und was mache ich mit a,b?
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Hallo Rechenfehler,
> nach integrieren und gleichsetzten komme ich auf
> v(x,y) = [mm]2xy+ay^{2}[/mm] = [mm]-(ax^{2}+2by) \Rightarrow[/mm] v(x,y) =
Hier hast Du jeweils die Integrationskonstanten vergessen.
Es ist einerseits
[mm]v\left(x,y\right)=2xy+ay^{2}+c_{1}\left(x\right)[/mm]
und andererseits
[mm]v\left(x,y\right)=-(ax^{2}+2by)+c_{2}\left(y\right)[/mm]
Durch Koeffizientenvergleich kannst Du a und b festlegen.
> [mm]2xy+a(y^{2}+x^{2})-2by[/mm] = 0 Jetzt hab ich v(x,y) auch durch
> ein Polynom beschrieben aber Ich versteh nicht so recht was
> mir das sagt. Eigentlich sollte das ja jetzt der
> Imaginärteil der Funktion sein. Also ist f(z) =
> u(x,y)+iv(x,y)? Und was mache ich mit a,b?
Gruss
MathePower
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:34 Do 18.08.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei
$u(x,y) [mm] =x^{2}+2axy+by^{2} [/mm] $
Ist u der Realteil einer holomorphen Funktion, so ist u harmonisch, d.h.:
[mm] u_{xx}+u_{yy}=0.
[/mm]
Damit erhält man schonmal: b=-1
FRED
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ah okay das macht sinn vielen dank !
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