hoch- tiefpunkte an Nahtstelle < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 So 10.04.2005 | | Autor: | ksxy |
Hallo Leute!!
Ich muss bis in einigen Wochen mein Fachreferat in Mathematik halten.
Meine Aufgabe besteht darin aufzuzeigen wie man Hoch und Tiefpunkte an
Nahtstellen zweier Funktionen ermittelt bzw. welche besoderheiten dabei auftreten können.Hier liegt das Übel allens!!!
ich hab keinerlei Funktionen von meinem Lehrer bekommen.
Es soll sich um eine Parabel und eine lineare Funktion handeln.
Für eure Hilfe wäre ich euch sehr dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 So 10.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ksxy,
dir ein herzliches
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Ich gebe dir mal zwei Verläufe die dein Lehrer gemeint haben könnte:
1. [mm] $f(x)=\begin{cases} 4-x^2, \qquad \text{für } x<1\\ \frac{1}{2}x+\frac{5}{2},\qquad \text{für } x\ge 1\end{cases}$
[/mm]
2. [mm] $f(x)=\begin{cases} x^2-3x+4, \qquad \text{für } x\ge 2\\ x, \qquad \text{für } x<2\end{cases}$
[/mm]
Gruß Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:29 So 10.04.2005 | | Autor: | ksxy |
Ja ich denke diese Funktionen entsprechen dem was mein Fachlehrer meint.
Wie ist das nun zu verstehen bzw. anzugehen, dass ich rechnerisch herausfinde ob an der Nahtstelle ein Hoch- oder Tiefpunkt oder keines von beidem vorliegt?
Normale Kurvendisskussion bzw. ermittlung von Extrempunkten stellt eigentlich kein Problem dar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:15 So 10.04.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo ksxy!
Zu Deinem "Problem" sollte man im Vorfeld festhalten, daß diese zusammengesetzten Funktionen an den Nahtstellen stetig sind (das gilt auch für Max' Beispielfunktionen).
Betrachte Dir diese beiden Beispielfunktionen doch mal genauer, natürlich insbesondere an den jeweiligen Nahtstellen. Hilfreich ist hier auch auf jeden Fall eine Skizze.
Was fällt Dir auf?
Bei "normalen" (sprich: nicht-zusammengesetzten) Funktionen berechnen wir die Extremstellen durch Nullsetzen der 1. Ableitung (notwendiges Kriterium): [mm] $f'(x_E) [/mm] \ = \ 0$
Bei zusammengesetzten Funktionen kann es an den Nahtstellen zu sog. "Randextrema" kommen, an denen die 1. Ableitung nicht gleich Null ist, d.h. es liegt keine horizontale Tangente vor!
Dieser Fall tritt auch bei einer der beiden Beispielfunktionen von Max auf.
Versuche mal, Dir das mit den beiden Beispielen klar zu machen.
Falls noch Fragen sind, melde Dich einfach nochmal ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Mo 11.04.2005 | | Autor: | ksxy |
Ich bin wirklich super froh über eure hilfe!!!
mal sehen ob ichs verstanden habe??
1.randextrema = ein hoch oder tiefpunkt, dies ist der fall wenn die 1. Ableitung [mm] \not= [/mm] 0 ist ?
Was ich noch nicht verstanden habe ist: was heisst das wenn du sagst ich muss die funktionen an den nahtstellen betrachten?muss ich dann den x-wert der Nahtstelle miteinbeziehen?
könnt ihr mir das vielleicht an einem bsp. kurz aufzeigen??
Ich glaub das wäre echt hilfreich.
hab mir die zwei funktonen mal skizziert.wenn ich das richtig interpretiere hat die erste einen Tiefpunkt an der stelle 1.
Bei der zweiten an der Nahtstelle 2 gibt es weder einen Hoch- noch einen Tiefpunkt.Ist das richtig??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Mo 11.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo ksxy,
> 1.randextrema = ein hoch oder tiefpunkt, dies ist der fall
> wenn die 1. Ableitung [mm]\not=[/mm] 0 ist ?
Nicht ganz so, dir ist ja die notwendige Bedingung [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] für Extremstellen (in Innerem von Interavellen) bekannt. Wenn du zB die Betragsfunktion [mm] $f(x)=|x|=\begin{cases} x, \qquad \text{für } x>0\\ -x, \qquad \text{für } x\le 0\end{cases}$ [/mm] ansiehst, wird dir auffallen, dass bei $x=0$ ein Tiefpunkt (sogar ein globales Minimum) vorliegt, obwohl die Funktion an der Stelle $x=0$ nicht differenzierbar ist! D.h. die Randstellen eines Intervalls lassen sich nicht mit [mm] $f'(x_E)=0$ [/mm] (und VZW!) herausfinden, sondern müssen getrennt betrachtet werden. Gerade dann wenn die Funktionen an der Nahtstelle stetig aber nicht differenzierbar sind treten sehr häufig Minima oder Maxima auf.
> Was ich noch nicht verstanden habe ist: was heisst das wenn
> du sagst ich muss die funktionen an den nahtstellen
> betrachten?muss ich dann den x-wert der Nahtstelle
> miteinbeziehen?
> könnt ihr mir das vielleicht an einem bsp. kurz
> aufzeigen??
> Ich glaub das wäre echt hilfreich.
Nun gut, zeiche dir $f(x)=|x|$. Wenn dich Extremstellen interessieren, musst du zuerst die Intervall [mm] $(-\infty; [/mm] 0)$ und $(0; [mm] \infty)$ [/mm] untersuchen, da dort aber [mm] $f'(x)=-1\neq [/mm] 0 $ bzw. [mm] $f'(x)=1\neq [/mm] 0$ gibt es auf diesen Intervallen keinen Extrempunkte. Bleibt nur noch der Randwert $x=0$ zu untersuchen, wegen [mm] $f(x)\ge [/mm] f(0) [mm] \gdw |x|\ge [/mm] 0$ ist $(0|0)$ damit ein globales Minimum.
> hab mir die zwei funktonen mal skizziert.wenn ich das
> richtig interpretiere hat die erste einen Tiefpunkt an der
> stelle 1.
> Bei der zweiten an der Nahtstelle 2 gibt es weder einen
> Hoch- noch einen Tiefpunkt.Ist das richtig??
Du hast das richtig gesehen, kannst du auch irgendwie rechnerisch zeigen, dass es so ist? Welche Eigenschaft hat den der zweite Graph, dass dort kein Extrempunkt auftaucht?
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:09 Do 14.04.2005 | | Autor: | ksxy |
gibt es bei dem zweiten Graph keinen Extrempunkt weil dieser streng monoton steigend ist??
erster graph:
zuerst ermittel ich im Intervall - unendlich;1 einen Hochpunkt an dem Punkt (0/4)
danach setze ich 1 in 1/2x + 5/2 ein; dadurch erhalte ich ein einen Tiefpunkt an dem Punkt (1/3)???
ist das richtig??
müsste so bewiesen werden?!
f`(0)=0 und f``(0) =2 ==> Tiefpunkt an der Stelle (1/3)
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Hallo!
Zunächst mal: Du hast recht damit, dass der 2. Graph keine Extrema hat, weil er streng monoton steigend ist.
Beim 1. Graphen kommst du auch ganz richtig auf das Maximum in (0,4). Es ist auch richtig, dass der Graph ein Minimum in (1,3) hat. Aber hier ist leider der Wurm drin:
> f'(0)=0 und f''(0) =2 ==> Tiefpunkt an der Stelle (1/3)
Für ein Extrum an der Stelle 1 müsstest du ja auch bei einer stetig differenzierbaren Funktion die Ableitung im Punkt 1 betrachten.
Woher kommt denn eigentlich das Minimum an der Stelle 1? Du kannst zwar $f$ nicht an der Stelle 1 ableiten, dafür aber die beiden Funktionen, aus denen $f$ zusammengesetzt ist!
Kommst du damit weiter?
Gruß, banachella
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:28 Do 14.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dass ksxy fragt, nehm ich ihm nich übel! Aber dass wir hier Stück für Stück ein Fachreferat schreiben find ich nicht gut! Bisher hab ich noch keine eigene Idee von ksxy gesehen, z. Bsp hat er noch keine weiter Beispielfkt erstellt. Wenn der Lehrer mit Absicht keine spezielle fkt, vorgegeben hat, hatte er wohl einen Grund, oder man hätte ihn nach einem Bsp. fragen können! Lehrer sind i. A. nicht einfach gemein!
Tut mir leid, ich will niemand verletzen, weil ich ja eigentlich das Unternehmen und die viele Geduld toll finde!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Fr 15.04.2005 | | Autor: | ksxy |
I´m so sorry!!!
Ich kann euch garnicht sagen wie froh ich bin, dass mir jemand hilft!
Es soll leute geben denen alles in den Schoß gelegt wird...
leider bin ich nicht einer von denen.
Ich versuche nur das alles zu verstehen um ein vernünftiges und solides Referat auf die beine zu stellen.Recherchen müssen bei jedem Referat durchgeführt werden und Informationen müssen ebenfalls eingehollt werden.
Konnte mir mein Thema leider nicht heraussuchen!!!
ich bin nunmal kein Mathe- Profi wie ihr.
Somit bitte ich euch um Verständnis wenn ich immer sehr doof frage.Aber ihr seit meine einzige Möglichkeit die Sache auf die Reihe zu kriegen.
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