hinreichendes Kriterium < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:42 So 15.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Hallo Matheraum,
gegeben ist die folgende "Nullstelle" des notwendigen Kriteriums
(1) [mm] \theta_{max}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}
[/mm]
Die zweite Ableitung der zu untersuchenen Funktion lautet
(2) [mm] \bruch{d^{2}}{d\theta}=\bruch{n}{\theta_{max}^{2}}-\bruch{2}{\theta_{max}^{3}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}
[/mm]
Meine Frage lautet:
Wie komme ich von [mm] \bruch{n}{\theta_{max}^{2}}-\bruch{2}{\theta_{max}^{3}}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2} [/mm] auf [mm] \bruch{n}{\theta_{max}^{2}}-\bruch{2n}{\theta_{max}^{2}}?
[/mm]
Um das Extremum zu bestimmen, müsste ich doch die Nullstelle aus (1) in (2) für [mm] \theta_{max} [/mm] einsetzen, oder? Ich würde deswegen folgendes vorschlagen vorschlagen
[mm] \bruch{d}{d\theta}(\theta_{max})=\bruch{n}{(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{2}}-\bruch{2n}{(\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2})^{3}}
[/mm]
Da hapert es bei mir dann aber beim Potenzieren der Summenzeichen. Über eine Hilfe würde ich mich sehr freuen.
Gruß, Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:08 So 15.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Vielen Dank! Es hat sich erledigt.
Man weiss aus der ersten Ableitung
[mm] \theta_{max}=\bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}\gdw n\theta_{max}=\summe_{i=1}^{n}x_{i}^{2}
[/mm]
Man kann nun also [mm] n\theta [/mm] durch das Summenzeichen in der letzten Gleichung ersetzen, so dass man mit
[mm] -\bruch{n}{\theta_{max}^{2}}<0 [/mm]
ein Minimum erhält.
Gruß, Marcel
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