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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Fr 18.04.2008 | | Autor: | jakob99 |
| Aufgabe | Suchen sie alle hermiteschen 2x2 Matrizen A= [mm] \alpha_0 \sigma_0+\alpha_1 \sigma_1+\alpha_2 \sigma_2+\alpha_3 \sigma_3 [/mm] welche die Eigenwert +1 und -1 haben.
[mm] \alpha_0 [/mm] ist die Einheitsmatix. [mm] \sigma_{1,2,3} [/mm] die Pauli-Matrizen.
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Hallo an alle,
Habe aber keinen Plan, wie diese Aufgabe zu lösen ist.
Hoffe auf euere Hilfe.
Folgendes weiß ich:
[mm] \sigma_0 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 } [/mm] ; [mm] \sigma_1 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 } [/mm] ; [mm] \sigma_2 [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & -i \\ i & 0 } [/mm] ; [mm] \sigma_3 [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 } [/mm] ;
Jakob
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> Suchen sie alle hermiteschen 2x2 Matrizen A= [mm]\alpha_0 \sigma_0+\alpha_1 \sigma_1+\alpha_2 \sigma_2+\alpha_3 \sigma_3[/mm]
> welche die Eigenwert +1 und -1 haben.
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> [mm]\alpha_0[/mm] ist die Einheitsmatix. [mm]\sigma_{1,2,3}[/mm] die
> Pauli-Matrizen.
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> Hallo an alle,
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> Habe aber keinen Plan, wie diese Aufgabe zu lösen ist.
>
> Hoffe auf euere Hilfe.
>
> Folgendes weiß ich:
>
> [mm]\sigma_0[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }[/mm] ; [mm]\sigma_1[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 0 }[/mm]
> ; [mm]\sigma_2[/mm] = [mm]\pmat{ 0 & -i \\ i & 0 }[/mm] ; [mm]\sigma_3[/mm] = [mm]\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }[/mm]
> ;
Hallo,
ich würde mir als erstes aufschreiben, wie die zu betrachtenden Matizen aussehen. Da sie Linearkombinationen der Pauli Matrizen sind, haben sie diese Gestalt:
[mm] A=\pmat{ a+d & b-ic \\ b+ic & a-d }. [/mm]
Nun sollst Du herausfinden, welche von denen sowohl den Eigenwert 1 als auch -1 haben.
Wie lautet dann das charakteristische Polynom?
Und wie lautet das charakteristische Polynom von [mm] \pmat{ a+d & b-ic \\ b+ic & a-d }?
[/mm]
Durch Vergleich der Koeffizienten solltest Du dann die gewünschten Informationen erhalten.
Gruß v. Angela
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