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heyheyhey, sagt mal kann mir jemand erklären warum die harmonische reihe nicht konvergiert? also wie man die divergenz zeigt weiß und versteh ich, aber ich verstehe nicht weshalb sie nicht der cauchy-konvergenz entspricht, denn es gilt doch auch dort:
[mm] \vee [/mm] epsilon [mm] \wedge [/mm] N(epsilon) , n >= N(epsilon) [mm] \Rightarrow [/mm] | [mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{m} [/mm] | < epsilon, für n, m > N(epsilon) oder nicht?
danke schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Fr 05.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Die Folge [mm] $a_n=1/n$ [/mm] ist in der Tat eine Cauchy-Folge und damit konvergent in [mm] $\IR$. [/mm] Bei der Harmonischen Reihe geht es aber um die Folge der Partialsummen [mm] $b_n:=\sum_{k=1}^n a_k$. [/mm] Diese ist keine Cauchyfolge, denn für [mm] $\varepsilon:=1/4$ [/mm] und jedes [mm] $n_0\in\IN$ [/mm] gibt es ein [mm]N\in\IN[/mm] mit [mm] $2^N>n_0$ [/mm] und es ist [mm] $$|b_{2^{N+1}}-b_{2^N}|=\sum_{k=2^N}^{2^{N+1}}\frac{1}{k}\ge \sum_{k=2^N}^{2^{N+1}}\frac{1}{2^{N+1}}=\frac{1}{2}>\varepsilon$$Gruß, [/mm] Robert
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