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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:30 Mi 04.06.2008 | | Autor: | lula |
Hallo!
Ich soll die einseitigen Grenzwerte von [mm] \limes_{x\rightarrow\a+} [/mm] f(x) und [mm] \limes_{x\rightarrow\a-} [/mm] f(x) zu folgender Funktion bestimmen: 1/(exp(x)-1) und a=0. Das einzige, was mir dazu einfällt, ist (weil [mm] exp(x)\to1 [/mm] ):
1. [mm] x\to0 [/mm] und x>0 [mm] \Rightarrow [/mm] exp(x)>1
2. [mm] x\to0 [/mm] und x<0 [mm] \Rightarrow [/mm] exp(x)<1
Jetzt weiß ich nicht, was bzw. wie ich weiter machen kann, wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte!
LG, Lula
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Hallo!
> Hallo!
> Ich soll die einseitigen Grenzwerte von
> [mm]\limes_{x\rightarrow\a+}[/mm] f(x) und [mm]\limes_{x\rightarrow\a-}[/mm]
> f(x) zu folgender Funktion bestimmen: 1/(exp(x)-1) und a=0.
> Das einzige, was mir dazu einfällt, ist (weil [mm]exp(x)\to1[/mm]
> ):
> 1. [mm]x\to0[/mm] und x>0 [mm]\Rightarrow[/mm] exp(x)>1
> 2. [mm]x\to0[/mm] und x<0 [mm]\Rightarrow[/mm] exp(x)<1
> Jetzt weiß ich nicht, was bzw. wie ich weiter machen kann,
> wäre toll, wenn mir da jemand helfen könnte!
> LG, Lula
Was so oder so auffällt, ist dass die Funktion an der Stelle a irgendwie gegen unendlich gehen wird, denn bei Auswertung des Grenzwerts (zunächst egal von welcher Seite) steht da:
[mm] \bruch{1}{0}
[/mm]
und Konstante Zahl durch 0 ist ja immer was ziemlich großes, nämlich unendlich. Wir haben es also mit Polstellen / senkrechen Asymptoten zu tun.
Ich möchte dir im Folgenden eine Überlegungen zur Auswertung des GW zeigen. Sie ist ein bisschen mathematisch lapidar und mit vielen Anführungsstrichen, aber macht das ganze meiner Meinung nach deutlicher.
1. Die Anführungsstrich-Variante (geht auch auf deine geschriebene Überlegung zurück):
Rechtsseitiger Limes:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \left(\bruch{1}{\exp(x)-1}\right)[/mm]
Wenn x ein bisschen größer als 0 (also math. x > 0), dann ist auch [mm] \exp(x) [/mm] aufgrund seiner Monotonie (streng monoton wachsend) ein bisschen größer als 1. Wir können schreiben:
[mm]\limes_{x\rightarrow 0+} \left(\bruch{1}{\exp(x)-1}\right) = \bruch{1}{\dq >1\dq -1}[/mm]
Und [mm]\dq >1\dq - 1[/mm] ist ein bisschen größer als 0:
[mm]\bruch{1}{\dq >0 \dq} = +\infty[/mm]
Analog geht man bei dem linksseitigen Limes vor und erhält dann [mm] \dq <0\dq [/mm] im Nenner des Bruches, also kommt [mm] -\infty [/mm] als GW raus. Grenzwert solltest du hier aber nur symbolisch sehen, denn eigentlich ist ja [mm] \pm\infty [/mm] kein analytisch korrekter Grenzwert.
Die zweite Methode zum Herausbekommen fußt auf der Definition des Grenzwerts von Funktion: Du musst eine geeignete Folge [mm] a_{n} [/mm] finden, die für [mm] n\to\infty [/mm] gegen 0 konvergiert. Diese setzt du dann für x ein und wandelst den Grenzwert von [mm] x\to [/mm] 0 zu n [mm] \to \infty [/mm] um. Meistens lassen sich diese Grenzwerte leichter bestimmen, wenn du zumindest eine schöne Folge [mm] a_{n} [/mm] wählst.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:30 Mi 04.06.2008 | | Autor: | lula |
Super! Danke für die tolle Erklärung! Werde es wohl nicht ganz mathematisch korrekt hinbekommen, aber das ist schon mal richtig gut!
Vielen Dank und liebe Grüße,
Lula
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Hallo!
Eventuell geht es etwas mathematischer auch so:
Was wir im Folgenden tun, ist x durch andere Terme darzustellen (Substitution). Logischerweise müssen wir dann aber auch den Grenzwert gegen eine Zahl gehen lassen.
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{1}{e^{x}-1}\right)
[/mm]
Substituiere z := [mm] e^{x}.
[/mm]
Falls x gegen 0 geht, geht z logischerweise gegen 1. (Das brauchst du, weil du nun den Limes umschreiben musst)
Dann ist
[mm] \limes_{x\rightarrow 0}\left(\bruch{1}{e^{x}-1}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{z\rightarrow 1}\left(\bruch{1}{z-1}\right)
[/mm]
Nun ist es einfach: Eine Folge, die für n [mm] \to \infty [/mm] gegen (rechtsseitig) 1 geht, ist zum Beispiel
[mm] z_{n} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}+1
[/mm]
Wir ersetzen nun z im Limes durch die Folge [mm] z_{n}, [/mm] und lassen n [mm] \to \infty [/mm] gehen:
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{z_{n}-1}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{\bruch{1}{n}+1-1}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{1}{\bruch{1}{n}}\right)
[/mm]
= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(n\right) [/mm] = [mm] \infty.
[/mm]
Linksseitig gegen 1 geht zum Beispiel die Folge
[mm] z_{n} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n},
[/mm]
dann ergibt sich
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\left(-n\right) [/mm] = [mm] -\infty.
[/mm]
Stefan
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