grenzwertberechnung < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | geg.:
[mm] f_k(x) [/mm] = (2x+k) [mm] e^{\bruch{-x}{k}} [/mm] ; k>0
Bestimmen Sie das Verhalten der Funktion an den Rändern des Definitionsbereichs |
ich muss also die grenzwerte für x gegen + und - [mm] \infty [/mm] berechnen.
dann mach ich [mm] \lim_{x \to \infty}(2x+k) e^{\bruch{-x}{k}}
[/mm]
der erste term geht ja gegen [mm] +\infty [/mm] und der zweite gegen 0, also hab ich [mm] "0*\infty"... [/mm] wie berechne ich den grenzwert dann? l´hospital kann ich ja hier nicht verwenden...
und für x gegen [mm] -\infty [/mm] steht ja zum schluss egtl [mm] "+\infty*-\infty" [/mm] und das ergibt ja immer [mm] -\infty, [/mm] oder?
|
|
| |
|
> Ich muss also die grenzwerte für [mm]x\to\pm\infty[/mm]
> berechnen.
> Dann mach ich [mm]\lim_{x \to \infty}(2x+k)*e^{\bruch{-x}{k}}[/mm].
Das ist richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> der erste term geht ja gegen [mm]+\infty[/mm] und der zweite gegen
> 0, also hab ich [mm]"0*\infty"...[/mm] wie berechne ich den
> grenzwert dann? l´hospital kann ich ja hier nicht
> verwenden...
Ich finde schonmal gut, dass du die Problematik erkannt hast. Manche sagen nämlich einfach: Der erste Faktor wird 0, also wird der Grenzwert 0. Das ist falsch, da der zweite Faktor ja wächst und sehr groß wird, somit also das Ergebnis auch etwas von 0 verschiedenes sein kann.
Du hast Recht, es läuft auf L'Hospital hinaus, doch dafür muss man zunächst ein bisschen umformen: Dann geht es ganz leicht.
Es ist
[mm]f(x) = (2*x+k)*e^{-\bruch{x}{k}} = (2*x+k)*\bruch{1}{e^{\bruch{x}{k}}} = \bruch{(2*x+k)}{e^{\bruch{x}{k}}} [/mm]
Nun kannst du L'Hospital anwenden, denn für [mm] x\to\infty [/mm] erhält man [mm] \bruch{\infty}{\infty}. [/mm] (Du musst allerdings nicht unbedingt, denn eigentlich ist das Ergebnis abzulesen: Die Exponentialfunktion im Nenner steigt für [mm] x\to\infty [/mm] wesentlich schneller als die lineare Funktion im Zähler...)
Benutzt wurde die Regel
[mm]a^{-n} = \bruch{1}{a^{n}}[/mm].
Du siehst: Das Prinzip ist, unpassendes passend zu machen. Meistens kann man auch Grenzwerte der Form [mm] \dq 0*\infty\dq [/mm] in L'Hospital-konforme Ausdrücke umwandeln.
Bei der zweiten Teilaufgabe kannst du im Grunde [mm]x=-\infty[/mm] einsetzen. Das hast du richtig ausgerechnet, da kommt [mm] -\infty [/mm] raus.
Nur noch so als Anmerkung: Falls k nicht größer 0 wäre wie vorausgesetzt, hätte man bei den Grenzwerten jeweils eine Fallunterscheidung für k>0 und k<0 machen müssen, da sich dann die Vorzeichen im Exponenten von e ja genau umkehren.
|
|
|
|
