gls < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:58 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | für welche werte bon [mm] \beta [/mm] hat dieses gls [mm] A*\vec{x}=\vec{b} [/mm] eine, keine bzw. unendlich viele lösungen?
A= [mm] \pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&\beta&1}, \vec{b}=\vektor{2\\-1\\\beta} [/mm] |
hallo!
kann mir bitte jemand einen kleinen tipp geben wie ich das auf zeilen-stufen-form bringe, stehe irgendwie an, mir fehlt glaub ich die zündende idee....
gibt es irgendeinen trick wie man sowas am besten macht, bzw. wo man anfängt (irgendein schema oder sowas...)
dank und lg
mark
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> für welche werte bon [mm]\beta[/mm] hat dieses gls
> [mm]A*\vec{x}=\vec{b}[/mm] eine, keine bzw. unendlich viele
> lösungen?
>
> A= [mm]\pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&\beta&1}, \vec{b}=\vektor{2\\-1\\\beta}[/mm]
>
> hallo!
>
> kann mir bitte jemand einen kleinen tipp geben wie ich das
> auf zeilen-stufen-form bringe, stehe irgendwie an, mir
> fehlt glaub ich die zündende idee....
>
> gibt es irgendeinen trick wie man sowas am besten macht,
> bzw. wo man anfängt (irgendein schema oder sowas...)
Addiere das [mm] \bruch{1}{2}\beta-fache [/mm] der 2. Zeile zur 3. Zeile
FRED
>
> dank und lg
> mark
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
vielen vielen dank fred,
gibt es bei solchen sachen irgendein schema, bzw iegendeinen trick mit dem man sofort auf den ersten blick sieht wie solche matrizen umzuformen sind?
lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:08 Do 01.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> vielen vielen dank fred,
>
> gibt es bei solchen sachen irgendein schema, bzw
> iegendeinen trick mit dem man sofort auf den ersten blick
> sieht wie solche matrizen umzuformen sind?
Was wolltest Du ? Zeilenstufenform, richtig ? Dann schau doch hin:
A= $ [mm] \pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&\beta&1}, \vec{b}=\vektor{2\\-1\\\beta} [/mm] $
In der 2. Zeile hast Du vorne schon eine Null. Gut
Wie kriegst Du es nun hin, dass Du in der 3. Zeile 0 0 bekommst ? Antwort: so wie ich es Dir gesagt habe.
FRED
>
> lg
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
jaja, is mir schon klar, danke...
nur gibt es im allgemeinen irgendetwas was man beachten bzw. versuchen soll damit man am schnellst auf die stufenform kommt?
lg
|
|
|
| |
|
Hallo, da hilft eigentlich nur üben, üben, ....... Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
darf ich bitte kurz zur kontrolle mal nachfragen ob ich das alles richtig verstanden habe:
ich mache das was fred gesagt hat und bekomme dann in meiner matrix:
[mm] \pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&0&\bruch{\beta^{2}}{2}} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\\bruch{\beta}{2}}
[/mm]
dann kann ich ja die dritte zeile mit 2 multiplizieren und bekomme
[mm] \pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&0&\beta^{2}} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{2\\-1\\\beta}
[/mm]
dann kann ich schon mal sagen dass das gls immer lösbar sein muss.
für [mm] \beta [/mm] = 0 habe ich einen freiheitsgrad -> [mm] x_{3} [/mm] = t
in II eingesetzt ist das dann [mm] -2x_{2}=-1 [/mm] --> [mm] x_{2}= \bruch{1}{2}
[/mm]
in I eingesetzt: [mm] -x_{1}+\bruch{1}{2}-t=2
[/mm]
dann kommt für [mm] x_{1}= -\bruch{3}{2} [/mm] - t heraus
für den fall [mm] \beta \not= [/mm] 0
III [mm] \beta^{2}*x_{3}=\beta [/mm] --> [mm] \beta*x_{3}=1 [/mm] --> [mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\beta}
[/mm]
das dann in II: [mm] -2x_{2}+\beta*\bruch{1}{\beta}=-1
[/mm]
-> [mm] -2x_{2} [/mm] = -2, also ist [mm] x_{2} [/mm] = 1
und das dann in I: [mm] -x_{1}+1-\bruch{1}{\beta}=2
[/mm]
und dann kommt man auf [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -1-\bruch{1}{\beta}
[/mm]
könnt ihr mir bitte sagen ob ich das richtig verstanden habe bzw. mich auf meine fehler hinweisen? hab nämlich morgen klausur und wäre euch sehr dankbar wenn ihr mich noch auf was hinweisen könntet...
vielen, vielen dank,
lg markus
|
|
|
| |
|
Hallo Markus,
> darf ich bitte kurz zur kontrolle mal nachfragen ob ich das
> alles richtig verstanden habe:
>
> ich mache das was fred gesagt hat und bekomme dann in
> meiner matrix:
>
> [mm]\pmat{-1&1&-1\\
0&-2&\beta\\
0&0&\bruch{\beta^{2}}{2}}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]\vektor{2\\
-1\\
\bruch{\beta}{2}}[/mm]
Wie kommt denn der Eintrag [mm]\frac{\beta^2}{2}[/mm] zustande?
Da musst du doch zu der 1 an der Stelle 3,3 das [mm]\frac{\beta}{2}[/mm]-fache des Eintrags 2,3, also [mm]\frac{\beta}{2}\cdot{}\beta[/mm] addieren.
Das gibt [mm]1+\frac{\beta}{2}\cdot{}\beta=\frac{\beta^2+2}{2}[/mm]
Dann kannst du mit 2 multiplizieren, eine Nullzeile bekommst du da aber nicht, denn [mm]\beta^2+2>0[/mm] für alle [mm]\beta[/mm]
Korrigiere das mal und überlege neu, wie es mit der Lösbarkeit bestellt ist ...
>
> dann kann ich ja die dritte zeile mit 2 multiplizieren und
> bekomme
>
> [mm]\pmat{-1&1&-1\\
0&-2&\beta\\
0&0&\beta^{2}}[/mm] * [mm]\vec{x}[/mm] =
> [mm]\vektor{2\\
-1\\
\beta}[/mm]
>
> dann kann ich schon mal sagen dass das gls immer lösbar
> sein muss.
>
> für [mm]\beta[/mm] = 0 habe ich einen freiheitsgrad -> [mm]x_{3}[/mm] = t
>
> in II eingesetzt ist das dann [mm]-2x_{2}=-1[/mm] --> [mm]x_{2}= \bruch{1}{2}[/mm]
>
> in I eingesetzt: [mm]-x_{1}+\bruch{1}{2}-t=2[/mm]
>
> dann kommt für [mm]x_{1}= -\bruch{3}{2}[/mm] - t heraus
>
>
> für den fall [mm]\beta \not=[/mm] 0
>
> III [mm]\beta^{2}*x_{3}=\beta[/mm] --> [mm]\beta*x_{3}=1[/mm] --> [mm]x_{3}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{\beta}[/mm]
>
> das dann in II: [mm]-2x_{2}+\beta*\bruch{1}{\beta}=-1[/mm]
> -> [mm]-2x_{2}[/mm] = -2, also ist [mm]x_{2}[/mm] = 1
>
> und das dann in I: [mm]-x_{1}+1-\bruch{1}{\beta}=2[/mm]
>
> und dann kommt man auf [mm]x_{1}[/mm] = [mm]-1-\bruch{1}{\beta}[/mm]
>
> könnt ihr mir bitte sagen ob ich das richtig verstanden
> habe bzw. mich auf meine fehler hinweisen? hab nämlich
> morgen klausur und wäre euch sehr dankbar wenn ihr mich
> noch auf was hinweisen könntet...
>
> vielen, vielen dank,
>
> lg markus
>
>
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke, hab ich gesehen...
dann habe ich also [mm] \pmat{-1&1&-1\\0&-2&\beta\\0&0&\beta^{2}+2} [/mm] und auf der rechten seite [mm] \vektor{2\\-1\\\beta} [/mm] stehen
daher ist das gls immer lösbar
mein [mm] x_{3}= \bruch{\beta}{\beta²+2} [/mm]
und dan löse ich es nach den restlichen x-komponenten auf oder?
dank und lg
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> ok danke, hab ich gesehen...
>
> dann habe ich also
> [mm]\pmat{-1&1&-1\\
0&-2&\beta\\
0&0&\beta^{2}+2}[/mm] und auf der
> rechten seite [mm]\vektor{2\\
-1\\
\beta}[/mm] stehen
>
> daher ist das gls immer lösbar
Jo
>
> mein [mm]x_{3}= \bruch{\beta}{\beta²+2}[/mm]
Du musst die Exponenten mit dem Dach ^ links neben der 1 machen, dann werden sie auch angezeigt ...
>
> und dan löse ich es nach den restlichen x-komponenten auf
> oder?
Jo, mache das mal ...
>
> dank und lg
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Do 01.12.2011 | | Autor: | mwieland |
> Du musst die Exponenten mit dem Dach ^ links neben der 1
> machen, dann werden sie auch angezeigt ...
ja sry, hatte ich kurz vergessen -hehe-
ich habe also für mein [mm] x_{3}=\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}
[/mm]
das setze ich dann in die zweite gleichung ein
II:
[mm] -2x_{2}+\beta*(\bruch{\beta}{\beta^{2}+2})=-1
[/mm]
[mm] \bruch{\beta^{2}}{\beta^{2}+2}+1=2x_{2}
[/mm]
[mm] \bruch{\beta^{2}}{2\beta^{2}+4}+\bruch{1}{2}=x_{2} [/mm] = [mm] \bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}
[/mm]
und das dann in die erste eingesetzt:
I:
[mm] -x_{1}+\bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}-\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}=2
[/mm]
[mm] \bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}-\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}-2 [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
und das dann ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt für [mm] x_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-9\beta^{2}-6\beta+28}{6*(\beta^{2}+2)}
[/mm]
hoffe ich hab mich nicht verrechnet...
dank und lg
|
|
|
| |
|
Hallo mwieland.
> > Du musst die Exponenten mit dem Dach ^ links neben der 1
> > machen, dann werden sie auch angezeigt ...
>
> ja sry, hatte ich kurz vergessen -hehe-
>
> ich habe also für mein [mm]x_{3}=\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}[/mm]
>
> das setze ich dann in die zweite gleichung ein
>
> II:
> [mm]-2x_{2}+\beta*(\bruch{\beta}{\beta^{2}+2})=-1[/mm]
> [mm]\bruch{\beta^{2}}{\beta^{2}+2}+1=2x_{2}[/mm]
> [mm]\bruch{\beta^{2}}{2\beta^{2}+4}+\bruch{1}{2}=x_{2}[/mm] =
> [mm]\bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}[/mm]
>
> und das dann in die erste eingesetzt:
>
> I:
>
> [mm]-x_{1}+\bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}-\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}=2[/mm]
>
> [mm]\bruch{3\beta^{2}+4}{6\beta^{2}+12}-\bruch{\beta}{\beta^{2}+2}-2[/mm]
> = [mm]x_{1}[/mm]
>
> und das dann ausmultipliziert und zusammengefasst ergibt
> für [mm]x_{1}[/mm] =
> [mm]\bruch{-9\beta^{2}-6\beta+28}{6*(\beta^{2}+2)}[/mm]
>
> hoffe ich hab mich nicht verrechnet...
>
Leider hast Du Dich bei der Ermittlung von [mm]x_{2}[/mm] verrechnet:
[mm]\bruch{\beta^{2}}{2\beta^{2}+4}+\bruch{1}{2}=x_{2}[/mm]
[mm]\gdw x_{2}=\bruch{\beta^{2}}{2\beta^{2}+4}+\bruch{1}{2}*\bruch{\beta^{2}+2}{\beta^{2}+2}=\bruch{\beta^{2}+\beta^{2}+2}{2*\beta^{2}+4}=\bruch{2*\beta^{2}+2}{\beta^{2}+2}=\bruch{\beta^{2}+1}{\beta^{2}+2}[/mm]
> dank und lg
>
Gruss
MathePower
|
|
|
|
