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Hallo zusammen. Ich habe mal eine kurze und simple Frage. Es geht darum das globale Extrema zu bestimmen für die Funktion [mm] f:[-\bruch{1}{2},2] \to \IR, f(x)=\wurzel{x^4-2x^2+2}. [/mm] Da die Fkt. STetig und im geschlossenen Intervall definiert ist, nimmt sie ihr globales Extrema auch an.
Notwendige Bedingung ist ja nun f'(x)=0
[mm] \Rightarrow f'(x)=\bruch{4x^3-4x}{2\Wurzel{x^4-2x^2+2}}=f'(x)=\bruch{2x(x-1)(x+1)}{\wurzel{x^4-2x^2+2}}
[/mm]
Somit sind die Nullstellen ja [mm] x_0=0, x_1=1 [/mm] und [mm] x_2=-1. [/mm] Da [mm] x_2=-1 [/mm] allerdings nicht zum Intervall gehört, kann man diese Stelle weglassen. Desweiteren sind die Intervallgrenzen [mm] x=-\bruch{1}{2} [/mm] und x=2 zu untersuchen. In der Schule hatte ich einmal gelernt nun die 2. ABleitung zu bilden und zu gucken, ob diese > oder < 0 sind, um eine Aussage darüber zu machen, ob es sich um Max. oder Minh. handelt. Wäre das für globale Extrema auch ratsam???
MFG domenigge135
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> Hallo zusammen. Ich habe mal eine kurze und simple Frage.
> Es geht darum das globale Extrema zu bestimmen für die
> Funktion [mm]f:[-\bruch{1}{2},2] \to \IR, f(x)=\wurzel{x^4-2x^2+2}.[/mm]
> Da die Fkt. STetig und im geschlossenen Intervall definiert
> ist, nimmt sie ihr globales Extrema auch an.
> Notwendige Bedingung ist ja nun f'(x)=0
> [mm]\Rightarrow f'(x)=\bruch{4x^3-4x}{2\Wurzel{x^4-2x^2+2}}=f'(x)=\bruch{2x(x-1)(x+1)}{\wurzel{x^4-2x^2+2}}[/mm]
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> Somit sind die Nullstellen ja [mm]x_0=0, x_1=1[/mm] und [mm]x_2=-1.[/mm] Da
> [mm]x_2=-1[/mm] allerdings nicht zum Intervall gehört, kann man
> diese Stelle weglassen. Desweiteren sind die
> Intervallgrenzen [mm]x=-\bruch{1}{2}[/mm] und x=2 zu untersuchen. In
> der Schule hatte ich einmal gelernt nun die 2. ABleitung zu
> bilden und zu gucken, ob diese > oder < 0 sind, um eine
> Aussage darüber zu machen, ob es sich um Max. oder Minh.
> handelt. Wäre das für globale Extrema auch ratsam???
Hallo,
ich habe die Ableitung nicht nachgerechnet,.
Du hast eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen Intervall, und wie Du richtig sagst, hat diese ein globales Minimum und ein globales Maximum.
Bestimme zuerst die lokalen Extremwerte im Inneren so, wie Du es aus der Schule kennst.
Anschließend schau die Funktionswert an den Rändern an.
Dann vergleiche mit den Funktionswerten an den Stellen der lokalen Extrema. So findest Du dann die globalen Extrema.
Erste und zweite Ableitung an den randpunkten bringt Dir nichts, denn der Witz ist ja, daß Du hier Extremwerte haben kannst, bei denen die Tangente nicht waagerecht ist.
Betrachte z.B. f(x)=x² im Intervall [-5,1].
Gruß v. Angela
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Also gut...
Dann erhalte ich ja: [mm] f(-\bruch{1}{2})=\bruch{5}{4} [/mm] und [mm] f(2)=\wurzel{10} [/mm] Es sind in der Aufgabe allerdings nur nach globalen Extrema gefragt nicht nach lokalen mir wurde nun geraten die Nullstellen ebenfalls in die funktion f(x) einzusetzen und nicht in f''(x) (zumal diese Ableitung nicht gerade einfach ist) ich mach das aber trotzdem mal:
[mm] f''(x)=\bruch{(6x^2-2)\wurzel{x^4-2x^2+2}-(2x^3-2x)(-\bruch{1}{2}(x^4-2x^2+2)^{-\bruch{3}{2}}(4x^3-4x))}{(x^4-2x^2+2)^{-\bruch{3}{2}}}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{(6x^2-2)\wurzel{x^4-2x^2+2}-(2x^3-2x)(-1)(4x^2-4x)}{2}
[/mm]
[mm] f''(x)=\bruch{6x^2-2\wurzel{x^4-2x^2+2}+8x^5-8x^4-8x^3+8x^2}{2}
[/mm]
Also [mm] f''(0)=-2\wurzel{2} [/mm] und [mm] f''(1)=-\bruch{1}{2}
[/mm]
leider bin ich mir mit der Ableitung nicht ganz sicher und auch nicht, wo ich jetzt die Nullstellen hätte einsetzen müssen, um zu gucken wo globales Extrema ist.
MFG domenigge135
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Hallo,
aufgrund der ersten Ableitung und der Tatsache, daß das Intervall abgeschlossen ist, hast Du 4 Kanditaten für die globalen Extremwerte, die Stellen [mm] -\bruch{1}{2}, [/mm] 0, 1 und 2.
Wo jetzt das globale Maximum und das globale Minimum liegt, bekommst Du durch Betrachten der Funktionswerte heraus. Das globale Minimum ist doch die Stelle, an der der Funktionswert am kleinsten ist.
Gruß v. Angela
P.S.: es heißt ein Extremum, viele Extrema, für Minimum und Maximum entsprechend.
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