glm. stetig <--> stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich habe eine Frage bzgl. gleichmäßiger und "normaler" Stetigkeit.
Allein aus der Definiton heraus, erkenne ich keinen Unterschied von glm. Stetig und punktweise stetig.
Worin liegt denn der Unterschied? Gibt es vielleicht ein anschauliches Beispiel?
Ich weiß zum Beispiel, dass f(x)=x² stetig aber nicht glm. stetig ist! Aber warum? Weil man kein größtes epsilon finden kann?
Danke shcon im Vorraus.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 So 28.12.2008 | | Autor: | pelzig |
Ok wir haben eine Funktion [mm] $f:X\to [/mm] Y$ zwischen metrischen Räumen, als Metrik schreiben wir einfach [mm] $|\cdot|$. [/mm]
Normale Stetigkeit ist eine lokale Eigenschaft, wenn wir sagen "f ist stetig" meinen wir eigentlich "f ist in jedem Punkt stetig", d.h. [mm] $$\forall\varepsilon>0:\forall x_0\in X:\exists \delta(\varepsilon):|x_0-x|<\delta(\varepsilon)\Rightarrow |f(x_0)-f(x)|<\varepsilon$$ [/mm] Gleichmäßige Stetigkeit heißt nach Definition [mm] $$\forall\varepsilon>0:\exists \delta(\varepsilon):\forall x_0\in X:|x_0-x|<\delta(\varepsilon)\Rightarrow |f(x_0)-f(x)|<\varepsilon$$ [/mm] Alles was sich geändert hat, ist dass zwei Quantoren vertauscht worden sind.
Bei Gleichmäßiger Stetigkeit muss man zu vorgegebenen [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein (universelles) [mm] $\delta=\delta(\varepsilon)$ [/mm] angeben können, sodass mit diesem [mm] $\delta$ [/mm] die (normale) Stetigkeitsbedingung [mm] ($|x_0-x|<\delta\Rightarrow|f(x_0)-f(x)|<\varepsilon$) [/mm] für alle [mm] $x_0\in [/mm] X$ gleichzeitig erfüllt ist. Dies ist keine lokale Eigenschaft, sondern eine globale.
Beispiel: [mm] $f:\IR\ni x\mapsto x^2\in\IR$ [/mm] ist nicht gleichmäßig stetig, denn ich kann z.B. wählen [mm] $\varepsilon=1$, [/mm] dann kann ich zu jedem (noch so kleinen) [mm] $\delta$ [/mm] zwei Zahlen [mm] $x_0,x\in\IR$ [/mm] finden mit [mm] $|x_0-x|<\delta$ [/mm] und [mm] $|x_0^2-x^2|>1=\varepsilon$, [/mm] zum Beispiel mit [mm] $x_0=1+1/\delta$ [/mm] und [mm] $x=x_0+\delta/2$ [/mm] (nachprüfen!).
Gruß, Robert
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