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| Aufgabe | [mm] 1)X=[-1,1],f_{n}(x)=\bruch{sin(n*x)}{\wurzel{n}}
[/mm]
2)X=[-1/2,1/2] [mm] f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k
[/mm]
3)X=]-1,1[ [mm] f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k
[/mm]
prüfe gleichmäßige konvergenz |
hallo,
Die 1.ist gleichmäßig konvergent,ich kann es nach vollziehen wenn ich zahlen einsetze,ich weiß auch, dass der größte Wert den die funktion cos(k*x) annehmen kann 1 ist aber ich weiß nicht im geringstens wie ich das aufs blatt bringen soll also wie man sowas beweist.
Die 2.ist gleichmäßig konvergent und die 3.ist nicht gleichmäßig konvergent und genau das ist mein problem wie kann die 2. es sein und die 3.nicht??das ist doch eigentlich in beiden fällen die geometrische reihe und die konvergiert doch für x<1.ich hoffe ihr könnt mir helfen.
gruß eva marie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Do 27.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> [mm]1)X=[-1,1],f_{n}(x)=\bruch{sin(n*x)}{\wurzel{n}}[/mm]
> 2)X=[-1/2,1/2] [mm]f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k[/mm]
> 3)X=]-1,1[
> [mm]f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k[/mm]
> prüfe gleichmäßige
> konvergenz
> hallo,
>
> Die 1.ist gleichmäßig konvergent,ich kann es nach
> vollziehen wenn ich zahlen einsetze,ich weiß auch, dass der
> größte Wert den die funktion cos(k*x) annehmen kann 1 ist
> aber ich weiß nicht im geringstens wie ich das aufs blatt
> bringen soll also wie man sowas beweist.
1.) Gegen welche Funktion konvergiert die Funktion den gleichmäßig? Ich behaupte, sie konvergiert glm. gegen $O: [-1,1] [mm] \to \IR$ [/mm] mit $O(x) [mm] \equiv [/mm] 0$. Wie beweißt man das? Zum Beispiel könntest Du zeigen:
[mm] $\sup\left\{|f_n(x)-O(x)|: x \in [-1,1]\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Wenn Du es über [mm] $\varepsilon$-$N_\varepsilon$ [/mm] machen willst:
Sei [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ fest. Zeige:
Es existiert ein [mm] $N=N_{\varepsilon} \in \IN$ [/mm] derart, dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
Für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ gilt [mm] $|f_n(x)-O(x)|=|f_n(x)| \le \varepsilon$ [/mm]
(Wichtig: Das $N$ darf nicht von $x$ abhängig sein, das erkennt man aber auch an meiner Formulierung oben!)
Dazu brauchst Du hier eigentlich nur zu wissen, dass $|sin(y)| [mm] \le [/mm] 1$ für alle $y [mm] \in \IR$ [/mm] gilt, dass [mm] $\frac{1}{\wurzel{n}}=\wurzel{\frac{1}{n}}$ [/mm] sowie dass die Folge [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine monoton fallende Nullfolge ist und $x [mm] \mapsto \sqrt{x}$ [/mm] streng monoton wachsend auf [mm] $[0,\infty)$ [/mm] ist.
> Die 2.ist gleichmäßig konvergent
Okay, da gibt es einen alten Trick namens geometrischer Summenformel:
[mm] $f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
Damit solltest Du erstmal begründen, warum die Funktion punktweise gegen $f:[-1/2,1/2] [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x):=\frac{1}{1-x}$ [/mm] konvergiert. Und wie in 1.) kannst Du dann zeigen:
[mm] $\sup\left\{|f_n(x)-f(x)|: x \in [-1/2,1/2]\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Wobei Du [mm] $f_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] einsetzen solltest.)
Vollkommenen analog kannst Du auch hier zeigen:
Ist [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$, so gibt es ein [mm] $N=N_{\varepsilon}$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
Für jedes $x [mm] \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ [/mm] gilt:
[mm] $|f_n(x)-f(x)|=\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right| \le \varepsilon$
[/mm]
> und die 3.ist nicht
> gleichmäßig konvergent und genau das ist mein problem wie
> kann die 2. es sein und die 3.nicht??das ist doch
> eigentlich in beiden fällen die geometrische reihe und die
> konvergiert doch für x<1.ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Ja, die konvergiert in beiden Fällen PUNKTWEISE, und zwar ist die Grenzfunktion bei 3. von der Funktionsgleichung wie in 2., hat aber einen "größeren" Definitionsbereich. Sie ist durch
$g: ]-1,1[ [mm] \to \IR$ [/mm] mit [mm] $g(x)=\frac{1}{1-x}$
[/mm]
gegeben.
Schau' hier mal, was folgendes ist:
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in ]-1,1[\right\}$
[/mm]
und zeige, dass dieses Supremum NICHT gegen $0$ geht bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
(Tipp:
Begründe z.B.:
Wenn $n [mm] \in \IN$ [/mm] fest, so gilt [mm] $\frac{x^n}{1-x} \to \infty$ [/mm] wenn $0 < x < 1$ und $x [mm] \to [/mm] 1$.)
Der Unterschied ist einfach, dass bei 2.) gilt:
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Also:
Obwohl in beiden Fällen [mm] $f_n(x)=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ [/mm] und diese auch punktweise auf dem Definitionsbereich gegen $x [mm] \mapsto \frac{1}{1-x}$ [/mm] konvergieren bei $n [mm] \to \infty$:
[/mm]
Im Falle $X=[-1/2,1/2]$ gilt
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in X\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Aber im Falle $X=]-1,1[$ gilt
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in X\right\} \not\to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm]
Also generell:
Wenn Du eine Funktion [mm] $f_n$ [/mm] gegeben hast, die auf $X$ definiert ist:
1.) Wogegen konvergiert [mm] $f_n(x)$ [/mm] PUNKTWEISE? Nenne diese Funktion $f$.
(Okay, ich habe es hier aus gewissen Bezeichnungsgründen so gemacht:
Bei 1.) heißt diese Funktion bei mir $O$, bei 2.) heißt sie $f$ und bei 3.) nenne ich sie $g$.)
Danach schaue, ob [mm] $\sup\left\{|f_n(x)-f(x)|: x \in X\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$. [/mm] Tut's dass, dann konvergiert [mm] $f_n$ [/mm] glm. gegen $f$, andernfalls nicht.
Auch, wenn Du das mit [mm] $\varepsilon$-$N_{\varepsilon}$ [/mm] machen willst:
Du musst auf jeden Fall dazu aber immer
[mm] $\left|f_n(x)-f(x)\right|$
[/mm]
berechnen und damit arbeiten, vor allem aber ist wichtig, dass Du diesen Term auch "auf $X$ abschätzen" musst!
Gruß,
Marcel
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hallo,
Vielen danke für deine tolle hilfe.die 2. und 3. aufgabe habe ich jetzt verstanden aber bei der 1. versteh ich noch nicht ganz wie ich das [mm] N_{\varepsilon} [/mm] wählen soll,wie berechne ich das?
gruß
eva marie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo eva-marie!
Das kanst Du durch abschätzen bzw. hier auch durch Umformungen erhalten:
[mm] $$\left| \ f_n(x) \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \left| \ \bruch{\sin(n*x)}{\wurzel{n}} \ \right| [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\blue{\left| \ \sin(n*x) \ \right|}}{\left| \ \wurzel{n} \ \right|} [/mm] \ [mm] \blue{\le} [/mm] \ [mm] \bruch{\blue{1}}{\wurzel{n}} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$$
[/mm]
Und Die Ungleichung [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] \ < \ [mm] \varepsilon$ [/mm] kannst Du nun bestimmt nach $n \ > \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:40 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo eva-marie,
> hallo,
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> Vielen danke für deine tolle hilfe.die 2. und 3. aufgabe
> habe ich jetzt verstanden aber bei der 1. versteh ich noch
> nicht ganz wie ich das [mm]N_{\varepsilon}[/mm] wählen soll,wie
> berechne ich das?
Loddar hat Dir ja bei der ersten quasi schon gesagt, was zu tun ist. Wie Du danach "präzise" argumentierst, steht eigentlich schon bei mir oben (Monotonie der Wurzelfunktion etc.).
Noch eine Sache zu 2. und 3.:
Dort geht es ja schlussendlich darum, erstmal für jedes $n [mm] \in \IN$
[/mm]
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{x^{n+1}}{1-x}\right|: x \in X\right\}$
[/mm]
für eine Menge $X$ zu bestimmen bzw. je nach $X$ nach oben abzuschätzen und dann gucken: Was passiert bei $n [mm] \to \infty$.
[/mm]
Im Falle 3. habe ich Dir ja quasi schon gesagt, warum dieses Supremum nicht gegen $0$ gehen kann.
Im Falle $X=[-1/2,1/2]$ gilt, dass [mm] $|x|^n \le \left(\frac{1}{2}\right)^n$, [/mm] wobei [mm] $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)_{n \in \IN}$ [/mm] eine Nullfolge ist und dass [mm] $\left|\frac{1}{1-x}\right| \le \frac{1}{1-\frac{1}{2}}=2$.
[/mm]
Damit erhälst Du die Behauptung im letzten Thread
[mm] $\sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in [-1/2,1/2]\right\} \to [/mm] 0$ bei $n [mm] \to \infty$, [/mm] da
$0 [mm] \le \sup\left\{\left|\frac{1-x^{n+1}}{1-x}-\frac{1}{1-x}\right|: x \in [-1/2,1/2]\right\} \le 2*\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$
[/mm]
Eine Folgerung, die man eigentlich schon erkennen sollte:
Ist Dir klar, dass man, anstatt $[-1/2,1/2]$ zu betrachten, dort auch allgemeiner sagen kann:
[mm] $f_n(x):=\sum_{k=0}^n x^k$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen [mm] $f(x):=\frac{1}{1-x}$ [/mm] auf jedem Kompaktum $[a,b] [mm] \subset [/mm] (-1,1)$?
Du müßtest nur eine analoge Abschätzung für das Supremum hinschreiben, also benutzen:
Ist $[a,b] [mm] \subset [/mm] (-1,1)$, so gilt [mm] $|x^n| \le M^n$ [/mm] mit [mm] $M:=\max\{|a|,|b|\}$ [/mm] und zudem gilt
[mm] $\left|\frac{1}{1-x}\right| \le \frac{1}{1-b}$ [/mm] (für jedes $x [mm] \in [/mm] [a,b]$).
Gruß,
Marcel
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hallo,
vielen dank an euch,ich habe es jetzt verstanden!
gruß
eva marie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:29 Do 27.03.2008 | | Autor: | abakus |
> [mm]1)X=[-1,1],f_{n}(x)=\bruch{sin(n*x)}{\wurzel{n}}[/mm]
> 2)X=[-1/2,1/2] [mm]f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k[/mm]
> 3)X=]-1,1[
> [mm]f_{n}(x):=\summe_{k=0}^{n} x^k[/mm]
> prüfe gleichmäßige
> konvergenz
> hallo,
>
> Die 1.ist gleichmäßig konvergent,ich kann es nach
> vollziehen wenn ich zahlen einsetze,ich weiß auch, dass der
> größte Wert den die funktion cos(k*x) annehmen kann 1 ist
> aber ich weiß nicht im geringstens wie ich das aufs blatt
> bringen soll also wie man sowas beweist.
>
> Die 2.ist gleichmäßig konvergent und die 3.ist nicht
> gleichmäßig konvergent und genau das ist mein problem wie
> kann die 2. es sein und die 3.nicht??das ist doch
> eigentlich in beiden fällen die geometrische reihe und die
> konvergiert doch für x<1.ich hoffe ihr könnt mir helfen.
>
Hallo,
es geht aber nicht um 08-15-Konvergenz, sondern um gleichmäßige Konvergenz. Zieh dir doch die Definition noch mal rein.
Viele Grüße
Abakus
> gruß eva marie
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