gleichmässige Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fernweh |
| Aufgabe | Zeige, dass die Folge gleichmässig konvergiert.
[mm] $f_n=(1-x)x^n$ [/mm] für $n [mm] \in \IN$ [/mm] auf $[0, 1]$ |
Hallo zusammen
Die Aufgabe tönt irgendwie so einfach, aber wenn ich es machen muss, weiss ich irgendwie nicht recht.
Ich denke, ich muss anfangen, in dem ich ein [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] annehme und dann muss ich ja zeigen, dass ich ein [mm] $n_0$ [/mm] finde, dass
[mm] $(1-x)x^n [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für [mm] $n>n_0$, [/mm] $0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1$
Aber wie schätze ich nun diese Funktion ab? Das Maximum der Funktion ist ja jeweils bei [mm] $\bruch{n}{n+1}$ [/mm] wenn ich richtig gerechnet habe.
Oder wie gehe ich solche Aufgaben im Allgemeinen am besten an?
Viele Grüsse
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:04 Mo 19.12.2011 | | Autor: | Helbig |
> Zeige, dass die Folge gleichmässig konvergiert.
>
> [mm]f_n=(1-x)x^n[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm] auf [mm][0, 1][/mm]
> Hallo zusammen
>
> Die Aufgabe tönt irgendwie so einfach, aber wenn ich es
> machen muss, weiss ich irgendwie nicht recht.
>
> Ich denke, ich muss anfangen, in dem ich ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> annehme und dann muss ich ja zeigen, dass ich ein [mm]n_0[/mm]
> finde, dass
> [mm](1-x)x^n < \varepsilon[/mm] für [mm]n>n_0[/mm], [mm]0 \le x \le 1[/mm]
Das stimmt schon mal!
>
> Aber wie schätze ich nun diese Funktion ab? Das Maximum
> der Funktion ist ja jeweils bei [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] wenn ich
> richtig gerechnet habe.
Du meinst [mm] $f_n$ [/mm] nimmt sein Maximum bei [mm] $\bruch [/mm] n {n+1}$ an?
Auch das stimmt, aber kannst Du das mit den Sätzen aus der Vorlesung zeigen?
Ich würde das Intervall aufteilen in $[1, [mm] 1-\epsilon]$ [/mm] und [mm] $[1-\epsilon, [/mm] 1]$ und dann getrennt abschätzen.
Grüße,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo
Danke für deine Antwort!
> Ich würde das Intervall aufteilen in [mm][1, 1-\epsilon][/mm] und
> [mm][1-\epsilon, 1][/mm] und dann getrennt abschätzen.
Gute Idee! Aber wie kommt man da einfach so drauf? (das ist jetzt eine ernsthafte Frage ;))
Also für $x [mm] \in [1-\varepsilon, [/mm] 1]$ ist es ja trivial, da [mm] $(1-x)x^n \le (1-(1-\varepsilon))*1^n=\varepsilon$
[/mm]
Für $x [mm] \in [/mm] [0, [mm] 1-\varepsilon]$ [/mm] hab ich nun: [mm] $(1-x)x^n \le (1-0)(1-\varepsilon)^n [/mm] = [mm] (1-\varepsilon)^n$
[/mm]
Muss ich nun das [mm] n_0 [/mm] explizit angeben? Denn dass das existiert, ist ja klar, da [mm] $n_0 \ge \bruch{Log(\varepsilon)}{Log(1-\varepsilon)}. [/mm] Oder genügt es zu sagen, dass [mm] $(1-\varepsilon)^n$ [/mm] gegen 0 konvergiert, da [mm] $1-\varepsilon<1$ [/mm] und n beliebig, und damit wird durch n genügend gross der Ausdruck beliebig klein.
Zudem: Muss ich den Fall [mm] \varepsilon>1 [/mm] separat noch erwähnen, auch wenn dieser nicht weiters interessant ist?
Viele Grüsse
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Hallo fernweh,
> > Ich würde das Intervall aufteilen in [mm][1, 1-\epsilon][/mm] und
> > [mm][1-\epsilon, 1][/mm] und dann getrennt abschätzen.
> Gute Idee! Aber wie kommt man da einfach so drauf? (das
> ist jetzt eine ernsthafte Frage ;))
Indem man sieht, dass sich dann die Abschätzungen ergeben, die du unten bereits gefunden hast  .
>
> Also für [mm]x \in [1-\varepsilon, 1][/mm] ist es ja trivial, da
> [mm](1-x)x^n \le (1-(1-\varepsilon))*1^n=\varepsilon[/mm]
>
> Für [mm]x \in [0, 1-\varepsilon][/mm] hab ich nun: [mm](1-x)x^n \le (1-0)(1-\varepsilon)^n = (1-\varepsilon)^n[/mm]
>
> Muss ich nun das [mm]n_0[/mm] explizit angeben?
Nein, der Nachweis der Existenz genügt.
> Denn dass das existiert, ist ja klar, da [mm]$n_0 \ge \bruch{Log(\varepsilon)}{Log(1-\varepsilon)}.[/mm]
Aber damit kannst Du auch leicht explizit ein [mm] n_0 [/mm] angeben.
> Oder genügt es zu sagen, dass [mm]$(1-\varepsilon)^n$[/mm] gegen 0
> konvergiert, da [mm]$1-\varepsilon<1$[/mm] und n beliebig, und damit
> wird durch n genügend gross der Ausdruck beliebig klein.
>
> Zudem: Muss ich den Fall [mm]\varepsilon>1[/mm] separat noch
> erwähnen, auch wenn dieser nicht weiters interessant ist?
Der Fall ist klar. Du kannst vor deiner restlichen Argumentation sagen: Sei o. E. [mm] 0<\varepsilon<1, [/mm] etc.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:29 Mo 19.12.2011 | | Autor: | fernweh |
Hallo
Sehr gut, vielen Dank!!
Gruess
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:14 Di 20.12.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeige, dass die Folge gleichmässig konvergiert.
>
> [mm]f_n=(1-x)x^n[/mm] für [mm]n \in \IN[/mm] auf [mm][0, 1][/mm]
> Hallo zusammen
>
> Die Aufgabe tönt irgendwie so einfach, aber wenn ich es
> machen muss, weiss ich irgendwie nicht recht.
>
> Ich denke, ich muss anfangen, in dem ich ein [mm]\varepsilon>0[/mm]
> annehme und dann muss ich ja zeigen, dass ich ein [mm]n_0[/mm]
> finde, dass
> [mm](1-x)x^n < \varepsilon[/mm] für [mm]n>n_0[/mm], [mm]0 \le x \le 1[/mm]
>
> Aber wie schätze ich nun diese Funktion ab? Das Maximum
> der Funktion ist ja jeweils bei [mm]\bruch{n}{n+1}[/mm] wenn ich
> richtig gerechnet habe.
Hast Du ! Setze [mm] a_n:=f(\bruch{n}{n+1}). [/mm] Rechne nach : [mm] (a_n) [/mm] ist eine Nullfolge.
Weiter: [mm] |f_n(x)| \le a_n [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1].
Ist [mm] \varepsilon>0, [/mm] so gibt es ein [mm] n_0 [/mm] mit: [mm] a_n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für [mm] n>n_0.
[/mm]
Damit: [mm] |f_n(x)|< \varepsilon [/mm] für alle [mm] n>n_0 [/mm] und alle x [mm] \in [/mm] [0,1]
FRED
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> Oder wie gehe ich solche Aufgaben im Allgemeinen am besten
> an?
>
> Viele Grüsse
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