gleichmäßig stetig < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:49 Do 20.12.2007 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | berechnen sie die grenzfunktion [mm] f='\limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] für folgende funktionenfolgen
[mm] (f_{n})_{n\in\IN\setminus 0},und [/mm] zeigen sie dass [mm] (f_{n}) [/mm] auf dem definitionsbereich nicht gleichmäßig gegen f konvergiert:
[mm] a)f_{n} :\IR_{+} \rightarrow \IR [/mm] , [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{1}{1+nx}
[/mm]
[mm] b)f_{n} [/mm] : [0,1] [mm] \rightarrow \IR [/mm] , [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{nx}{1+n²x²}
[/mm]
c) [mm] f_{n} [/mm] : [mm] \IR \rightarrow \IR [/mm] , [mm] f_{n}(x) [/mm] := [mm] \bruch{nx}{1+|nx|}
[/mm]
zeigen sie ,dass aber [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig konvergiert,wenn man den definitionsbereich einschränkt
und zwar bei
a)auf ein intervall [mm] [a,\infty) [/mm] mit a>0
b)auf ein intervall [a,1] mit [mm] a\in [/mm] (0,1)
c)auf [mm] (-\infty;a] \cup [a,\infty) [/mm] mit a>_0 |
hallo
meine idee ist bei a) für [mm] x>\bruch{1}{N} [/mm] und n>N, f= [mm] \limes{n\rightarrow\infty}=0
[/mm]
für [mm] x<\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{bn} [/mm] b [mm] \in [/mm] IR [mm] ,f=\bruch{1}{1+\bruch{1}{b}}=1 [/mm] für b [mm] \rightarrow \infty [/mm] ,also [mm] ||f_{n}-f|| [/mm] =1,also nicht glm. stetig
wäre das so möglich und wenn ja ausreichend?
weitere fragen folgen gegebenfalls 
gruß lenz
|
|
| |
|
> berechnen sie die grenzfunktion
> [mm]f='\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] für folgende
> funktionenfolgen
> [mm](f_{n})_{n\in\IN\setminus 0},und[/mm] zeigen sie dass [mm](f_{n})[/mm]
> auf dem definitionsbereich nicht gleichmäßig gegen f
> konvergiert:
> [mm]a)f_{n} :\IR_{+} \rightarrow \IR[/mm] , [mm]f_{n}(x) := \bruch{1}{1+nx}[/mm]
> [mm]b)f_{n}[/mm] : [0,1] [mm]\rightarrow \IR[/mm] , [mm]f_{n}(x) := \bruch{nx}{1+n²x²}[/mm]
> c) [mm]f_{n}[/mm] : [mm]\IR \rightarrow \IR[/mm] , [mm]f_{n}(x) := \bruch{nx}{1+|nx|}[/mm]
> zeigen sie ,dass aber [mm]f_{n}[/mm] gleichmäßig konvergiert,wenn
> man den definitionsbereich einschränkt
> und zwar bei
> a)auf ein intervall [mm][a,\infty)[/mm] mit a>0
> b)auf ein intervall [a,1] mit [mm]a\in[/mm] (0,1)
> c)auf [mm](-\infty;a] \cup [a,\infty)[/mm] mit a>_0
> hallo
> meine idee ist bei a) für [mm]x>\bruch{1}{N}[/mm] und n>N, f=
> [mm]\limes{n\rightarrow\infty}=0[/mm]
> für [mm]x<\limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{1}{bn}[/mm] b [mm]\in[/mm] IR
> [mm],f=\bruch{1}{1+\bruch{1}{b}}=1[/mm] für b [mm]\rightarrow \infty[/mm]
> ,also [mm]||f_{n}-f||[/mm] =1,also nicht glm. stetig
Irgendwie bringst Du die Begriffe "gleichmässig stetig" und "gleichmässig konvergent" durcheinander. Hier geht es nicht um gleichmässige Stetigkeit einer (einzigen) Funktion, sondern um die Frage der gleichmässigen Konvergenz einer Folge von Funktionen.
> wäre das so möglich und wenn ja ausreichend?
Ich verstehe manches nicht: weil Du manches nicht ausdrücklich hingeschrieben (aber vielleicht gedacht) hast.
> weitere fragen folgen gegebenfalls
Wie Du den Beweis gestalten kannst, hängt davon ab, was Du über gleichmässige Konvergenz alles weisst, bzw. als bekannt voraussetzen darfst. Zum Beispiel ist die punktweise Grenzfunktion $f$ einer gleichmässig gegen $f$ konvergenten Folge von Funktionen [mm] $f_n$ [/mm] stetig. Des weiteren folgt aus gleichmässiger Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] und der Existenz der Limites [mm] $\lim_{x\rightarrow x_0}f_n(x)$, [/mm] dass auch der Limes der Grenzfunktion $f$ für [mm] $x\rightarrow x_0$ [/mm] existiert und dass gilt
[mm]\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}\lim_{x\rightarrow x_0}f_n(x)[/mm]
Weil bei a) die [mm] $f_n$ [/mm] also stetig sind und für alle $n$ gilt: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0}f_n(x)=1$, [/mm] für die Grenzfunktion aber [mm] $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$, [/mm] kann die Konvergenz der [mm] $f_n$ [/mm] gegen $f$ nicht stetig sein.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Do 20.12.2007 | | Autor: | lenz |
hi
danke schonmal für die ausführliche antwort.
hab jetzt das:
f(x)= [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} [/mm] (x) < [mm] \bruch{1}{1+n} \rightarrow [/mm] 0 für n>_N mit [mm] N=\bruch{a}{x} [/mm] a [mm] \in \IR [/mm] für alle x
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} f_{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+\bruch{1}{b}} \rightarrow [/mm] 1, mit x< [mm] \bruch{1}{b*n} ,b\rightarrow \infty
[/mm]
also norm [mm] ||f_{n}-f|| [/mm] =1,also nicht glm. konvergent
für [mm] f_{n} [a;\infty) \rightarrow \IR [/mm] a>0
f(x)=0
[mm] \limes_{x\rightarrow a} f_{n} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+na} [/mm] < [mm] \bruch{1}{1+n} [/mm] für [mm] n>N,N=\bruch{b}{a} [/mm] ,b [mm] \in \IR
[/mm]
also norm [mm] ||f_{n}-f|| \rightarrow [/mm] 0,also glm. konvergent.
ist das vom ansatz richtig und wenn ja ausreichend oder muß ich mit epsilon-delta arbeiten?
fg lenz
|
|
|
| |
|
> hi
> danke schonmal für die ausführliche antwort.
> hab jetzt das:
> [mm]f(x)= \limes_{n\rightarrow\infty} f_{n} (x) <
\bruch{1}{1+n} \rightarrow 0[/mm] für $n>_N$ mit [mm]N=\bruch{a}{x}[/mm], $a [mm] \in \IR$, [/mm] für alle x
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0} f_{n} < \bruch{1}{1+\bruch{1}{b}} \rightarrow 1[/mm], mit [mm]x< \bruch{1}{b*n} ,b\rightarrow \infty[/mm]
> also norm
> [mm]||f_{n}-f||[/mm] =1,also nicht glm. konvergent
> für [mm]f_{n} [a;\infty) \rightarrow \IR[/mm] a>0
> f(x)=0
> [mm]\limes_{x\rightarrow a} f_{n} < \bruch{1}{1+na} <
\bruch{1}{1+n}[/mm] für [mm]n>N,N=\bruch{b}{a}[/mm] ,b [mm]\in \IR[/mm]
> also norm
> [mm]||f_{n}-f|| \rightarrow[/mm] 0,also glm. konvergent.
> ist das vom ansatz richtig und wenn ja ausreichend oder
> muß ich mit epsilon-delta arbeiten?
Letztlich ist es wohl Geschmacksfrage. Was ich nicht so gut finde ist, wenn die Sache zwar scheinbar sehr detailiert, aber dann doch irgendwie unübersichtlich argumentiert wirkt. Warum sollte es, zum Nachweis, dass die Grenzfunktion für alle [mm] $x\in \IR_{+}$ [/mm] gleich $0$ ist, nicht genügen, kurzerhand dies hinzuschreiben: "Für alle $x>0$ ist [mm] $f(x)=\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x)=\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{1}{1+nx}=0$."
[/mm]
Denn es sieht doch jeder, dass für $x>0$ der Term $nx$ und daher auch der Nenner $1+nx$ mit [mm] $n\rightarrow\infty$ [/mm] ebenfalls gegen [mm] $+\infty$ [/mm] geht und daher der Bruch selbst gegen $0$.
Analog beim Nachweis, dass, für festes $n$ gilt: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f_n(x)=1$, [/mm] würde ich mich an Deiner Stelle damit begnügen, zu schreiben: [mm] $\lim_{x\rightarrow 0+}f_n(x)=\lim_{x\rightarrow 0+}\frac{1}{1+nx}=1$, [/mm] denn auch in diesem Falle ist doch klar, dass der Limes des Nenners gleich $1$ und somit der Limes des Bruches gleich $1$ ist. Wenn man dies ausführlicher argumentiert wird die Sache nicht klarer, eher im Gegenteil.
Auch Dein Argument für [mm] $\parallel f_n-f\parallel\underset{n\uparrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$ ist (immer für meinen persönlichen Geschmack), wegen der Einführung von zusätzlichen Grössen wie $N$ und $b$, unnötig unübersichtlich. Warum nicht eine gradlinige Umformungskette wie z.B. die folgende verwenden?
[mm]\parallel f_n-f\parallel = \sup_{x\geq a}|f_n(x)-0|=\sup_{x\geq a}\left|\frac{1}{1+nx}\right|\leq \frac{1}{1+na}\underset{n\uparrow \infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
Der Leser eines solchen Beweises darf durchaus auch etwas mitdenken: nur deutlich grössere Schwierigkeiten, als z.B. bloss die, von $a>0$ auf [mm] $\frac{1}{1+na}\underset{n\uparrow\infty}{\longrightarrow} [/mm] 0$ zu schliessen, darf man ihm nicht aufbürden.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:09 Fr 21.12.2007 | | Autor: | lenz |
gut
danke nochmal
grüße lenz
|
|
|
|
