gleichgradige Stetigkeit < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Erfüllt [mm] f_{n}: [0,\infty[ [/mm] -> [mm] \IR [/mm] mit [mm] f_{n}(x) [/mm] = [mm] sin(\wurzel{x + 4*\pi^2n^2}) [/mm] die Vorraussetzungen des Satzes von Arzela-Ascoli? |
Hallo,
also ich habe ein Problem bei dem Nachweis der gleichgradigen Stetigkeit (die gleichmäßige Beschränktheit ist ja gegeben da |sin(x)| [mm] \le [/mm] 1), da ich immer ein Problem mit dem Abschätzen der Sinus-Funktion habe.
Stimmt folgende Abschätzung für [mm] x_{1},x_{2} [/mm] in [mm] [0,\infty[:
[/mm]
[mm] |f(x_{1})-f(x_{2}| [/mm] = [mm] |sin(\wurzel{x_{1} + 4*\pi^2n^2}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{x_{2} + 4*\pi^2n^2})|
[/mm]
[mm] \le |sin(x_{1} [/mm] + [mm] 4*\pi^2n^2) [/mm] - [mm] sin(x_{2} [/mm] + [mm] 4*\pi^2n^2)|
[/mm]
[mm] \le |(x_{1} [/mm] + [mm] 4*\pi^2n^2) [/mm] - [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] 4*\pi^2n^2)|
[/mm]
[mm] \le |x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}|. [/mm] Das würde ja die gleichgradige Stetigkeit bedeuten und zwar für [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon. [/mm] Aber wie gesagt, ich bin mir nicht sicher.
Noch eine weitere Frage zur gleichgradigen Stetigkeit. Kann ich aus der Divergenz einer Funktionsfolge schließen, dass die Funktionen nicht gleichgradig stetig sind, oder gibt es auch eine divergente Funktionsfolge, die gleichgradig ist?
Vielen Dank für Ihre Hilfe,
Grüße, Steffen
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Hi Steffen,
> Erfüllt [mm]f_{n}: [0,\infty[[/mm] -> [mm]\IR[/mm] mit [mm]f_{n}(x)[/mm] =
> [mm]sin(\wurzel{x + 4*\pi^2n^2})[/mm] die Vorraussetzungen des
> Satzes von Arzela-Ascoli?
> Hallo,
> also ich habe ein Problem bei dem Nachweis der
> gleichgradigen Stetigkeit (die gleichmäßige Beschränktheit
> ist ja gegeben da |sin(x)| [mm]\le[/mm] 1), da ich immer ein Problem
> mit dem Abschätzen der Sinus-Funktion habe.
>
> Stimmt folgende Abschätzung für [mm]x_{1},x_{2}[/mm] in [mm][0,\infty[:[/mm]
>
> [mm]|f(x_{1})-f(x_{2}|[/mm] = [mm]|sin(\wurzel{x_{1} + 4*\pi^2n^2})[/mm] -
> [mm]sin(\wurzel{x_{2} + 4*\pi^2n^2})|[/mm]
> [mm]\le |sin(x_{1}[/mm] +
> [mm]4*\pi^2n^2)[/mm] - [mm]sin(x_{2}[/mm] + [mm]4*\pi^2n^2)|[/mm]
> [mm]\le |(x_{1}[/mm] + [mm]4*\pi^2n^2)[/mm] - [mm](x_{2}[/mm] + [mm]4*\pi^2n^2)|[/mm]
> [mm]\le |x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}|.[/mm] Das würde ja die gleichgradige
sagen wir es mal so: ich wuesste nicht, warum das stimmen sollte... im ernst: deine erste und zweite abschaetzung sind nicht haltbar.
> Stetigkeit bedeuten und zwar für [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon.[/mm] Aber
> wie gesagt, ich bin mir nicht sicher.
>
> Noch eine weitere Frage zur gleichgradigen Stetigkeit. Kann
> ich aus der Divergenz einer Funktionsfolge schließen, dass
> die Funktionen nicht gleichgradig stetig sind, oder gibt es
> auch eine divergente Funktionsfolge, die gleichgradig ist?
>
> Vielen Dank für Ihre Hilfe,
> Grüße, Steffen
ich würde es einmal so versuchen: man kann relativ 'einfach' gleichgr. stetigk. zeigen, indem man die beschränktheit in [mm] $C^{0,1}$ [/mm] zeigt, also die existenz einer gleichmäßigen Lipschitz-konstanten. Diese wiederum erhält man, indem man die erste ableitung gleichm. beschränkt.
Versuch das mal!
gruss
matthias
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Hallo Matthias,
sorry, die Abschätzung war wirklich Blödsinn!
> ich würde es einmal so versuchen: man kann relativ
> 'einfach' gleichgr. stetigk. zeigen, indem man die
> beschränktheit in [mm]C^{0,1}[/mm] zeigt, also die existenz einer
> gleichmäßigen Lipschitz-konstanten. Diese wiederum erhält
> man, indem man die erste ableitung gleichm. beschränkt.
>
> Versuch das mal!
Ok. Ich probiere es mal. Die erste Ableitung der Funktion ist [mm] f_{n}' [/mm] = [mm] cos(\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}})*\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}.
[/mm]
Dafür gilt:
[mm] |cos(\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}})*\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}|
[/mm]
[mm] \le |\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}| [/mm]
[mm] \le |\bruch{1}{\wurzel{4\pi^{2}n^{2}}}|
[/mm]
[mm] \le \bruch{1}{2*\pi}, [/mm] oder?
Ist das jetzt meine gleichmäßige Lipschitzkonstante L? Angenommen ja, dann bedeutet das jetzt, dass die [mm] f_{n}(x) [/mm] mit x in [0,1] beschränkt sind, also
[mm] |sin(\wurzel{x_{1}+4\pi^{2}n^{2}}) [/mm] - [mm] sin(\wurzel{x_{2}+4\pi^{2}n^{2}})| \le [/mm] L [mm] |x_{1} [/mm] - [mm] x_{2}|, [/mm] oder nicht?
Grüße, Steffen
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Hi,
> Hallo Matthias,
>
> sorry, die Abschätzung war wirklich Blödsinn!
>
> > ich würde es einmal so versuchen: man kann relativ
> > 'einfach' gleichgr. stetigk. zeigen, indem man die
> > beschränktheit in [mm]C^{0,1}[/mm] zeigt, also die existenz einer
> > gleichmäßigen Lipschitz-konstanten. Diese wiederum erhält
> > man, indem man die erste ableitung gleichm. beschränkt.
> >
> > Versuch das mal!
>
> Ok. Ich probiere es mal. Die erste Ableitung der Funktion
> ist [mm]f_{n}'[/mm] =
> [mm]cos(\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}})*\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}.[/mm]
> Dafür gilt:
>
hast du hier nicht eine 2 vergessen?
> [mm]|cos(\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}})*\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}|[/mm]
> [mm]\le |\bruch{1}{\wurzel{x+4\pi^{2}n^{2}}}|[/mm]
> [mm]\le |\bruch{1}{\wurzel{4\pi^{2}n^{2}}}|[/mm]
> [mm]\le \bruch{1}{2*\pi},[/mm]
> oder?
>
> Ist das jetzt meine gleichmäßige Lipschitzkonstante L?
ja!
> Angenommen ja, dann bedeutet das jetzt, dass die [mm]f_{n}(x)[/mm]
> mit x in [0,1] beschränkt sind, also
>
> [mm]|sin(\wurzel{x_{1}+4\pi^{2}n^{2}})[/mm] -
> [mm]sin(\wurzel{x_{2}+4\pi^{2}n^{2}})| \le[/mm] L [mm]|x_{1}[/mm] - [mm]x_{2}|,[/mm]
> oder nicht?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Grüße, Steffen
>
>
gruss
matthias
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