gleiche/verschiedene Kugeln < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:04 Sa 21.11.2009 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Aufgabe 22:
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Kugeln auf n Urnen zu verteilen, so dass genau eine
Urne leer bleibt, wenn
(i) sich die Kugeln nicht unterscheiden lassen,
(ii) die Kugeln unterscheidbar sind? |
Hey, also ich hab mir das so gedacht:
Wenn eine Urne frei sein soll, muss ich n Kugeln auf n-1 Urnen verteilen, oder?
Nur verstehe ich nicht, was der unterschied zwischen (i) und (ii) ist...also wie ich das rechnen soll, vielen dank im Vorraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Sa 21.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Aufgabe 22:
> a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, n Kugeln auf n Urnen
> zu verteilen, so dass genau eine
> Urne leer bleibt, wenn
> (i) sich die Kugeln nicht unterscheiden lassen,
> (ii) die Kugeln unterscheidbar sind?
> Hey, also ich hab mir das so gedacht:
>
> Wenn eine Urne frei sein soll, muss ich n Kugeln auf n-1
> Urnen verteilen, oder?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
>
> Nur verstehe ich nicht, was der unterschied zwischen (i)
> und (ii) ist...also wie ich das rechnen soll, vielen dank
> im Vorraus
Nehmen wir als Beispiel mal n=3
Dann haben wir also drei Urnen und drei gleiche Kugeln, also muss ich in eine Urne eine Kugel packen, in eine andere zwei und eine bleibt leer.
Jetzt nehme ich unterscheidbare Kugeln, also eine schwarze, eine weisse und eine blaue. Dann macht es einen Unterschied, ob ich in Urne 1 Schwarz und weiss lege und in Urne 2 blau, oder ob ich Urne 1 mit schwarz und blau befülle, und Urne 2 mit weiss.
Vergleiche das mal mit Lotto? Wie hat man da die "Reihenfolge herausgerechnet"?
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:28 Sa 21.11.2009 | | Autor: | durden88 |
ahhh jetzt kapiere ich! Weil wenn die Kugeln sich unterscheiden lassen, muss ich das urnenmodell ungeordnetes Ziehen ohne Zurüclegen nehmen, also
[mm] \vektor{n \\ k}= \vektor{n-1 \\ n}
[/mm]
wenn alle gleich sind, ist dies nicht so wichtig, also:
[mm] \bruch{n!}{(n-k)!}
[/mm]
Bitte bitte das das richtig ist gg
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Hallo durden,
ich teile meine Antworten mal auf, das erleichtert die weitere Diskussion.
Hier also zum Fall mit den nicht unterscheidbaren Kugeln:
> wenn alle gleich sind, ist dies nicht so wichtig, also:
>
> [mm]\bruch{n!}{(n-k)!}[/mm]
>
> Bitte bitte das das richtig ist gg
Wie Du wohl schon gesehen hast, bleibt genau eine Urne leer, und in genau einer anderen Urne befinden sich zwei Kugeln. Alle anderen Urnen enthalten eine Kugel. Die Kugeln sind nicht unterscheidbar, die Urnen schon.
Es gibt dann n Möglichkeiten für die leere Urne und (n-1) Möglichkeiten für die mit den zwei Kugeln, also insgesamt [mm]n(n-1)[/mm] Möglichkeiten. Soweit logisch?
Grüße
reverend
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Hallo nochmal,
jetzt also der Fall mit den unterscheidbaren Kugeln.
Immer noch bleibt eine Urne leer, in einer sind zwei Kugeln, in allen anderen je eine.
Es gibt n Möglichkeiten für die leere Urne. In der Urne mit den zwei Kugeln (die eine der restlichen (n-1) Urnen ist, liegt eine der n Kugeln und noch eine der restlichen (n-1) Kugeln. Die verbleibenden (n-2) Kugeln verteilen sich auf die verbleibenden (n-2) Kugeln, wofür es allerdings genau (n-2)! Möglichkeiten gibt, also insgesamt [mm]n*n*(n-1)*(n-1)*(n-2)!=n!*n*(n-1)=\bruch{(n!)^2}{(n-2)!}[/mm] Möglichkeiten.
> ahhh jetzt kapiere ich! Weil wenn die Kugeln sich
> unterscheiden lassen, muss ich das urnenmodell ungeordnetes
> Ziehen ohne Zurüclegen nehmen, also
>
> [mm]\vektor{n \\ k}= \vektor{n-1 \\ n}[/mm]
Was will mir diese Gleichung sagen? Hatten Ihr denn schon verallgemeinerte Binomialkoeffizienten? Sonst sollte die Zahl "oben" nie kleiner sein als die Zahl "unten". Genau das steht aber auf der rechten Seite.
lg
reverend
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