ggt Bruch Beweis < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Di 02.11.2010 | | Autor: | j3ssi |
| Aufgabe | | Seien $ a,b,c,d [mm] \IN [/mm] $ mit $ ab-cd =1 $. Zeigen Sie, dass der Bruch [mm] $\bruch{a+b}{c+d} [/mm] nicht gekürzt werden kann. |
Mein Nasatz ist, dass ich annehme der Bruch sei kürzbar$ [mm] \Rightarrow \exists [/mm] f [mm] \IZ [/mm] $ mit $a+b=f(c+d)
Habe jetzt jede Menge umformungen versucht .... komme aber einfach nicht weiter.
Ich habe diese Frage in keine anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:30 Di 02.11.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien $ a,b,c,d [mm]\IN[/mm] $ mit $ ab-cd =1 $. Zeigen Sie, dass
> der Bruch [mm]$\bruch{a+b}{c+d}[/mm] nicht gekürzt werden kann.
Die Aussage ist schlichtweg falsch.
Nimm etwa $a = 5$, $b = 1$, $c = d = 2$. Dann ist $a b - c d = 5 - 4 = 1$, jedoch [mm] $\frac{a + b}{c + d} [/mm] = [mm] \frac{5 + 1}{2 + 2} [/mm] = [mm] \frac{6}{4} [/mm] = [mm] \frac{3}{2}$ [/mm] sehr wohl kuerzbar.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:47 Di 02.11.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo und guten Tag,
sogar wenn a,b,c,d paarweise verschieden und alle [mm] \not=1 [/mm] sind, ist die Aufgabe nicht haltbar:
Sei a=3, b=7, c=2, d=10: ab-cd=21-20=1, [mm] \bruch{a+b}{c+d}=\bruch{10}{12}
[/mm]
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:31 Di 02.11.2010 | | Autor: | ragenerd |
Hallo,
du hast da eine zeile falsch abgeschrieben.
es müsste ad -bc = 1 heißen und nicht ab - cd = 1.
der beweis für das problem würde mich allerdings auch interessieren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Di 02.11.2010 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Seien $ a,b,c,d [mm]\IN[/mm] $ mit $ ab-cd =1 $. Zeigen Sie, dass
> der Bruch [mm]$\bruch{a+b}{c+d}[/mm] nicht gekürzt werden kann.
> Mein Nasatz ist, dass ich annehme der Bruch sei kürzbar$
> [mm]\Rightarrow \exists[/mm] f [mm]\IZ[/mm] $ mit $a+b=f(c+d)
Also heißt es korrekt ad - bc = 1. (siehe untige Korrektur)
Dann ist auch ad + bd - bd - bc = 1
oder
(a+b)d - b(c+d) = 1
Aber das heißt gerade, daß a+b und c+d teilerfremd sind.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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