ggt (...) = ggt (...) beweisen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schapka |
| Aufgabe | Beweisen Sie für nat. Zahlen a,b [mm] \ge [/mm] 1
ggT ( [mm] \bruch{a}{ggt(a,b)} [/mm] , b ) = ggT ( a , [mm] \bruch{b}{ggt(a,b)} [/mm] ) |
Also ich habe mir die langen ggT's mal abgekürzt mit
d:= ggT [mm] (\bruch{a}{ggt(a,b)}, [/mm] b ) und
e:= ggT ( a [mm] ,\bruch{b}{ggt(a,b)} [/mm] )
Jetzt weiß ich schonmal dass
d| [mm] \bruch{a}{ggt(a,b)} [/mm] ^ d| b
e| [mm] \bruch{b}{ggt(a,b)} [/mm] ^ e| a
Ich muss für diesen Beweis zeigen, dass d| [mm] \bruch{b}{ggt(a,b)} [/mm] und d|a
und in die andere Richtung e| [mm] \bruch{a}{ggt(a,b)} [/mm] und e| b
d| a ist schnell gezeigt:
[mm] \exists [/mm] x [mm] \in \IN [/mm] mit d*x = [mm] \bruch{a}{ggt(a,b)} [/mm] <-> d*x*ggT(a,b) = a [mm] \\ [/mm] wobei x*ggT(a,b) [mm] \in \IN [/mm] und somit folgt d|a (so mache ich das auch für e|b)
Aber jetzt weiß ich nicht weiter...
wie zeige ich d| [mm] \bruch{b}{ggt(a,b)} [/mm] ?
Bringt es mir etwas, wenn ich weiß dass
d| a ^ d|b -> d| ggT(a,b) gilt und dass d schon [mm] \bruch{a}{ggt(a,b)} [/mm] teilt und kann daraus etwas folgern?
Bitte um Hilfe =) und danke im Voraus!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Fr 09.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> Beweisen Sie für nat. Zahlen a,b [mm]\ge[/mm] 1
>
> ggT ( [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] , b ) = ggT ( a ,
> [mm]\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] )
Wenn a = 2 ist und b = 4, dann ist der ggT 2 und die linke Seite ist 1 und die rechte 2, oder übersehe ich da was ... (ich trau mich gar nicht, auf 'senden' zu drücken)
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schapka |
Das siehst du richtig, mein Problem ist jetzt noch dass wir nicht mit Einsetzen als Beweis arbeiten dürfen =/
Ach ja und mit a*b = kgV (a,b) * ggT (a,b) kam ich auch nicht weiter *sigh*
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Hallo,
> Das siehst du richtig, mein Problem ist jetzt noch dass wir
> nicht mit Einsetzen als Beweis arbeiten dürfen =/
Das tut ja auch keiner (weil streng verboten)
Dieter hat dir ein Gegenbsp. für deine Aussage gezeigt.
Also gilt die Aussage in obiger Form nicht, mit einem Gegenbsp. hast du (bzw. Dieter) eine mögliche Gültigkeit der Aussage unmöglich gemacht.
Das kannst du auch nicht wieder mit einem "Beweis" hinbiegen. Für $a=2, b=4$ klappt's nicht, damit auch nicht für alle [mm] $a,b\ge [/mm] 1$ wie gefordert ...
>
> Ach ja und mit a*b = kgV (a,b) * ggT (a,b) kam ich auch
> nicht weiter *sigh*
Überprüfe mal, ob du dich nicht vllt. vertippt hast mit der Aufgabenstellung ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:21 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schapka |
Die Aufgabenstellung haben wir so von unserem Dozenten bekommen =/
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:10 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> Beweisen Sie für nat. Zahlen a,b [mm]\ge[/mm] 1
>
> ggT ( [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] , b ) = ggT ( a ,
> [mm]\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] )
> Also ich habe mir die langen ggT's mal abgekürzt mit
>
> d:= ggT [mm](\bruch{a}{ggt(a,b)},[/mm] b ) und
> e:= ggT ( a [mm],\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] )
>
Hallo,
ich würde einen grundlegenderen Ansatz verwenden:
Sei d=ggT(a,b). Dann gilt
a=x*d und b=y*d, wobei x und y teilerfremde natürliche Zahlen sind.
Deine Behauptung vereinfacht sich durch diese Festlegung zu ggT(x,b)=ggT(y,a) bzw. zu ggT(x,d*y)=ggT(y,d*x).
Gruß Abakus
> Jetzt weiß ich schonmal dass
>
> d| [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] ^ d| b
>
> e| [mm]\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] ^ e| a
>
>
> Ich muss für diesen Beweis zeigen, dass d|
> [mm]\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] und d|a
> und in die andere Richtung e| [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] und e|
> b
>
>
> d| a ist schnell gezeigt:
>
> [mm]\exists[/mm] x [mm]\in \IN[/mm] mit d*x = [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] <->
> d*x*ggT(a,b) = a [mm]\\[/mm] wobei x*ggT(a,b) [mm]\in \IN[/mm] und somit
> folgt d|a (so mache ich das auch für e|b)
>
> Aber jetzt weiß ich nicht weiter...
>
> wie zeige ich d| [mm]\bruch{b}{ggt(a,b)}[/mm] ?
>
> Bringt es mir etwas, wenn ich weiß dass
>
> d| a ^ d|b -> d| ggT(a,b) gilt und dass d schon
> [mm]\bruch{a}{ggt(a,b)}[/mm] teilt und kann daraus etwas folgern?
>
>
> Bitte um Hilfe =) und danke im Voraus!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schapka |
> Hallo,
> ich würde einen grundlegenderen Ansatz verwenden:
> Sei d=ggT(a,b). Dann gilt
> a=x*d und b=y*d, wobei x und y teilerfremde natürliche
> Zahlen sind.
> Deine Behauptung vereinfacht sich durch diese Festlegung
> zu ggT(x,b)=ggT(y,a) bzw. zu ggT(x,d*y)=ggT(y,d*x).
> Gruß Abakus
Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch, inwiefern bringt mich das weiter - also mein [mm] \bruch{a}{ggT(a,b)} [/mm] = d*x und mein b = d*y und das vereinfacht einsetzen ggT(x,y*d) = ggT(y,x*d) und mit den einfachen Werten weiter beweisen oder wie was wo ^^?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Fr 09.04.2010 | | Autor: | abakus |
> > Hallo,
> > ich würde einen grundlegenderen Ansatz verwenden:
> > Sei d=ggT(a,b). Dann gilt
> > a=x*d und b=y*d, wobei x und y teilerfremde natürliche
> > Zahlen sind.
> > Deine Behauptung vereinfacht sich durch diese
> Festlegung
> > zu ggT(x,b)=ggT(y,a) bzw. zu ggT(x,d*y)=ggT(y,d*x).
> > Gruß Abakus
>
> Ich stehe gerade ein bisschen auf dem Schlauch, inwiefern
> bringt mich das weiter - also mein [mm]\bruch{a}{ggT(a,b)}[/mm] =
> d*x und mein b = d*y und das vereinfacht einsetzen
> ggT(x,y*d) = ggT(y,x*d) und mit den einfachen Werten weiter
> beweisen oder wie was wo ^^?
Hallo,
nach unserer Festlegung sind x und y teilierfremd, also ggT(x,y)=1.
Der ggT von x und y*d ist somit der gemeinsame Teiler von x und d.
Damit lautet die Behauptung ggT(x,d)=ggT(y,x*d).
Letzteres entspricht aber mit der gleichen Argumentation wie eben dem ggT von y und d.
Die Behauptung lautet hiermit ggT(x,d)=ggT(y,d) (und beide Werte MÜSSEN 1 sein.)
Gruß Abakus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:39 Fr 09.04.2010 | | Autor: | Schapka |
Jau stimmt, so hatte ich mir das auch notiert... aber nicht hier geschrieben.
Danke für die Antworten :)
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