ggT von Polynomen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 So 02.12.2012 | | Autor: | Melisa |
| Aufgabe | Guten Tag, also ich soll den ggT von 2 Polynomen bestimmen und sie in einer bestimmten Form darstellen. Kriege das aber nicht ganz auf die Reihe.
Man berechne jeweils in K [x] den größten gemeinsamen Teiler ℎ der Polynome f und
g und bestimme Polynome ℎ1 und ℎ2 mit ℎ = ℎ1*f + ℎ2*g.
1)1. K = [mm] \IQ, [/mm] f = [mm] x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 3x − 9, g = [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3.
2)K = [mm] \IZ_{3}, [/mm] g = [mm] \IZ_{5} [/mm] + [2], g = [2] [mm] \IZ_{4} [/mm] + [2]. |
Meine bisherige Lösung:
ich schreibe hier kurz:
[mm] (x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 3x − 9) : [mm] (x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3) = ( x + 2) Rest [mm] (-4x^{2}-6x [/mm] - 3)
daraus folgt
[mm] ggT(x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 3x − 9, [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3) = ggT( [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3, [mm] -4x^{2}-6x [/mm] - 3)
=>
( [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3) : [mm] (-4x^{2}-6x [/mm] - 3) = [mm] \bruch{-1x}{4} [/mm] + [mm] \bruch{5}{8} [/mm] Rest (9x [mm] -\bruch{9}{8} [/mm]
daraus folgt:
[mm] ggT(x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 3x − 9, [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3)=ggT( [mm] -4x^{2}-6x [/mm] - 3, 9x [mm] -\bruch{9}{8} [/mm] )
=>
[mm] (-4x^{2}-6x [/mm] - 3): (9x [mm] -\bruch{9}{8}) [/mm] = [mm] \bruch{-4x}{9} [/mm] - [mm] \bruch{13}{18} [/mm] R [mm] \bruch{-61}{16}
[/mm]
dann habe ich
[mm] ggT(x^{4} [/mm] + [mm] x^{3} [/mm] + 3x − 9, [mm] x^{3} [/mm] − [mm] x^{2} [/mm] + 6x − 3)= ggT(9x [mm] -\bruch{9}{8}, \bruch{-61}{16})
[/mm]
=>
(9x [mm] -\bruch{9}{8}):(\bruch{-61}{16}) [/mm] = [mm] \bruch{-144x}{61} [/mm] + [mm] \bruch{18}{61}
[/mm]
und jetzt habe ich Probleme, weil im Internet hab ich ueberprueft und ggt von den Polynomen sind 1 , was mache ich falsch??
und noch was wie bestimme ich ℎ1*f + ℎ2*g?
Vielen dank im vorraus für eure wertvolle Zeit.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
> Guten Tag, also ich soll den ggT von 2 Polynomen bestimmen
> und sie in einer bestimmten Form darstellen. Kriege das
> aber nicht ganz auf die Reihe.
>
> Man berechne jeweils in K [x] den größten gemeinsamen
> Teiler ℎ der Polynome f und
> g und bestimme Polynome ℎ1 und ℎ2 mit ℎ = ℎ1*f +
> ℎ2*g.
>
> 1)1. K = [mm]\IQ,[/mm] f = [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, g = [mm]x^{3}[/mm]
> − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3.
> 2)K = [mm]\IZ_{3},[/mm] g = [mm]\IZ_{5}[/mm] + [2], g = [2] [mm]\IZ_{4}[/mm] +
> [2].
> Meine bisherige Lösung:
> ich schreibe hier kurz:
> [mm](x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9) : [mm](x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3)
> = ( x + 2) Rest [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3)
> daraus folgt
> [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm] −
> [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3) = ggT( [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3,
> [mm]-4x^{2}-6x[/mm] - 3)
> =>
> ( [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3) : [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3) =
> [mm]\bruch{-1x}{4}[/mm] + [mm]\bruch{5}{8}[/mm] Rest (9x [mm]-\bruch{9}{8}[/mm]
> daraus folgt:
> [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x −
> 3)=ggT( [mm]-4x^{2}-6x[/mm] - 3, 9x [mm]-\bruch{9}{8}[/mm] )
> =>
> [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3): (9x [mm]-\bruch{9}{8})[/mm] = [mm]\bruch{-4x}{9}[/mm]
> - [mm]\bruch{13}{18}[/mm] R [mm]\bruch{-61}{16}[/mm]
hier müsste Rest [mm] \frac{-59}{16} [/mm] rauskommen
> dann habe ich
> [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x −
> 3)= ggT(9x [mm]-\bruch{9}{8}, \bruch{-61}{16})[/mm]
> (9x [mm]-\bruch{9}{8}):(\bruch{-61}{16})[/mm] =
> [mm]\bruch{-144x}{61}[/mm] + [mm]\bruch{18}{61}[/mm]
So hier steht dann: $9x - [mm] \frac{9}{8} [/mm] = [mm] \frac{-59}{16}*(-2\frac{26}{59}x) [/mm] - [mm] \frac{9}{8}$ [/mm] Rest ist hier also [mm] -\frac{9}{8}
[/mm]
Dann gehts doch noch weiter. Du hast zu früh aufgehört!
[mm] $-\frac{59}{16} [/mm] = [mm] \frac{-9}{8}*2\frac{7}{18} [/mm] +1$
also: ist der ggT der beiden Polynome 1.
> und jetzt habe ich Probleme, weil im Internet hab ich
> ueberprueft und ggt von den Polynomen sind 1 , was mache
> ich falsch??
>
> und noch was wie bestimme ich ℎ1*f + ℎ2*g?
>
> Vielen dank im vorraus für eure wertvolle Zeit.
Ziemlich blöde Polynome 
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 So 02.12.2012 | | Autor: | Melisa |
Hi teo,
danke Fuer deine Antwort.
Wieso stimmt nicht?? Ich habe grade nochmal berechnet und 5/8 sollte eigentlich gelten
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
so nun zu dem zweiten Teil. Das ist leider ziemlich mühsam und auch sehr sehr fehleranfällig, vor allem bei diesen Polynomen. Nachdem wir jetzt oben rausbekommen haben, dass der ggT beider Polynome 1 ist, müssen wir jetzt eine Darstellung der 1 mit den beiden Polynomen f und g bestimmen. Also steht dann irgendwas da der Form $1 = [mm] p_1*f+p_2*g$ ($p_1,p_2$ [/mm] sind Polynome). Nun hast du da ein beliebiges Polynom h gegeben. Das multiplizierst du einfach nur noch an diese Darstellung ran, dann hast du [mm] $h=h*1=h*p_1*f+h*p_2*g$ [/mm] Dann setzt du [mm] $h_1 [/mm] = [mm] h*p_1$ [/mm] und [mm] $h_2 [/mm] = [mm] h*p_2$.
[/mm]
Das ist eigentlich nur Fleißarbeit, es ist also ok, wenn du dabei verzweifelst und dich öfter verrechnest.
Liebe Grüße
teo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:40 So 02.12.2012 | | Autor: | teo |
Entschuldigung! Da hast du natürlich recht und ich hab mich verrechnet!
Ich guck nochmal drüber!
Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:36 Di 04.12.2012 | | Autor: | Melisa |
> Hallo,
>
> > Guten Tag, also ich soll den ggT von 2 Polynomen bestimmen
> > und sie in einer bestimmten Form darstellen. Kriege das
> > aber nicht ganz auf die Reihe.
> >
> > Man berechne jeweils in K [x] den größten gemeinsamen
> > Teiler ℎ der Polynome f und
> > g und bestimme Polynome ℎ1 und ℎ2 mit ℎ = ℎ1*f
> +
> > ℎ2*g.
> >
> > 1)1. K = [mm]\IQ,[/mm] f = [mm]x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, g = [mm]x^{3}[/mm]
> > − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3.
> > 2)K = [mm]\IZ_{3},[/mm] g = [mm]\IZ_{5}[/mm] + [2], g = [2] [mm]\IZ_{4}[/mm]
> +
> > [2].
> > Meine bisherige Lösung:
> > ich schreibe hier kurz:
> > [mm](x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9) : [mm](x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x −
> 3)
> > = ( x + 2) Rest [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3)
> > daraus folgt
> > [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm]
> −
> > [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3) = ggT( [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3,
> > [mm]-4x^{2}-6x[/mm] - 3)
> > =>
> > ( [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x − 3) : [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3)
> =
> > [mm]\bruch{-1x}{4}[/mm] + [mm]\bruch{5}{8}[/mm] Rest (9x [mm]-\bruch{9}{8}[/mm]
>
> > daraus folgt:
> > [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x
> −
> > 3)=ggT( [mm]-4x^{2}-6x[/mm] - 3, 9x [mm]-\bruch{9}{8}[/mm] )
> > =>
> > [mm](-4x^{2}-6x[/mm] - 3): (9x [mm]-\bruch{9}{8})[/mm] =
> [mm]\bruch{-4x}{9}[/mm]
> > - [mm]\bruch{13}{18}[/mm] R [mm]\bruch{-61}{16}[/mm]
> hier müsste Rest [mm]\frac{-59}{16}[/mm] rauskommen
> > dann habe ich
> > [mm]ggT(x^{4}[/mm] + [mm]x^{3}[/mm] + 3x − 9, [mm]x^{3}[/mm] − [mm]x^{2}[/mm] + 6x
> −
> > 3)= ggT(9x [mm]-\bruch{9}{8}, \bruch{-61}{16})[/mm]
> > (9x
> [mm]-\bruch{9}{8}):(\bruch{-61}{16})[/mm] =
> > [mm]\bruch{-144x}{61}[/mm] + [mm]\bruch{18}{61}[/mm]
>
> So hier steht dann: [mm]9x - \frac{9}{8} = \frac{-59}{16}*(-2\frac{26}{59}x) - \frac{9}{8}[/mm]
> Rest ist hier also [mm]-\frac{9}{8}[/mm]
>
> Dann gehts doch noch weiter. Du hast zu früh aufgehört!
>
> [mm]-\frac{59}{16} = \frac{-9}{8}*2\frac{7}{18} +1[/mm]
>
> also: ist der ggT der beiden Polynome 1.
> Ich habe nochmal berechnet und ggt bekomme ich immer -61/16 aber jetzt verstehe ich nivht wie kann ich -61/16 mit ℎ1*f + ℎ2*g darstellen???
>
> > und jetzt habe ich Probleme, weil im Internet hab ich
> > ueberprueft und ggt von den Polynomen sind 1 , was mache
> > ich falsch??
> >
> > und noch was wie bestimme ich ℎ1*f + ℎ2*g?
> >
> > Vielen dank im vorraus für eure wertvolle Zeit.
>
> Ziemlich blöde Polynome
>
> Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:57 Di 04.12.2012 | | Autor: | teo |
Hallo,
mit dem [mm] \frac{-61}{16} [/mm] hast du recht. Entschuldige. Sagt dir der Erweiterte euklidische Algorithmus etwas? Du musst alles wieder zurückrechnen und erhälst so eine Darstellung der 1. Diese Darstellung ist dann eine mit Polynomen, wie ich es bereits geschrieben habe.
Wir waren doch soweit, dass:
[mm] $-4x^2-6x-3 [/mm] : 9x - [mm] \frac{9}{8} [/mm] = [mm] \frac{-4}{9}x [/mm] - [mm] \frac{13}{18}$ [/mm] Rest: [mm] $\frac{-61}{16}$
[/mm]
Also: [mm] $-4x^2-6x-3 [/mm] = [mm] (9x-\frac{9}{8})*(\frac{-4}{9}x-\frac{13}{18}) [/mm] + [mm] \frac{-61}{16}$
[/mm]
So nun bist du noch nicht fertig!!
$9x - [mm] \frac{9}{8} [/mm] : [mm] \frac{-61}{16} [/mm] = [mm] -2\frac{4}{61}x$ [/mm] Rest [mm] $\frac{-9}{8}$
[/mm]
Also: [mm] 9x-\frac{9}{8} [/mm] = [mm] \frac{-61}{16}*(-2\frac{4}{61}) [/mm] - [mm] \frac{9}{8}$
[/mm]
So nun brauchst du ja ne Darstellung mit 1. Aber wenn du Brüche devidierst wirst du das nie bekommen, deswegen musst du da tricksen, indem du einfach: [mm] $\frac{-61}{16} [/mm] = [mm] \frac{-45}{16} [/mm] - 1$ und es gilt
[mm] $\frac{-45}{16} [/mm] = [mm] \frac{-9}{8}* \frac{5}{2}$ [/mm]
Also: [mm] $\frac{-61}{16} [/mm] = [mm] \frac{-9}{8}*\frac{5}{2} [/mm] -1$
Jetzt geht alles wieder rückwarts. Wenn du das noch nie gemacht hast, dann gehst du hier kaputt.. das ist echt ne ziemlich blöde Aufgabe. Wenn du die unbedingt rechnen willst, dann übe das erst mal mit einfacheren Aufgaben! Und auch erstmal nur mit Zahlen ohne Polynome!!
Also: Es würde dann halt anfangen:
$1 = [mm] \frac{-9}{8}*\frac{5}{2} [/mm] + [mm] \frac{61}{16}$ [/mm] und dann rückwärts!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Di 04.12.2012 | | Autor: | Melisa |
Danke teo fur deine Antwort, schon drei Stunden versuche ich diese verdamte Aufgabe zu loesen, mit erweiterte euklidische Algorithmus hab ich schon mal probiert aber nicht geschaft :(: Leider hab ich keine Zeit morgen muss ich Uebungsblat in der Uni abgeben :(.
Und noch eine Frage: also ggT ist -61/16 und woher kommt 1 als ggT:)
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> Guten Tag, also ich soll den ggT von 2 Polynomen bestimmen
> 1) K = [mm] \IQ, [/mm] f = [mm]x^{4}\ +\ x^{3}[/mm] + 3x − 9, g = [mm]x^{3}\ -\ x^{2} + 6x\ -\ 3[/mm]
Bist du sicher, dass du die beiden Polynome richtig
abgeschrieben hast ?
f lässt sich zwar faktorisieren, g aber nicht.
ggT(f,g)=1 weckt in mir einfach gewisse Zweifel !
LG, Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:13 Di 04.12.2012 | | Autor: | Melisa |
Hallo Al-Chw,
ja ich habe grad ueberprueft und Aufgabestellung ist richtig, und ggT bekomme ich -61/16 aber dann habe ich probleme weil
-61/16 soll ich so darstellen h = -61/16 und h=ℎ1*f + ℎ2
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> Hallo Al-Chw,
> ja ich habe grad ueberprueft und Aufgabestellung ist
> richtig,
gut !
> und ggT bekomme ich -61/16 aber dann habe ich
> probleme weil
> -61/16 soll ich so darstellen h = -61/16 und h=ℎ1*f + ℎ2
Der ggT von Polynomen ist nur bis auf einen Faktor
(aus dem Grundkörper) bestimmt. Deshalb könnte
man hier als ggT eigentlich jede rationale Zahl (außer
die Null) nehmen.
Für die Zerlegung würde ich mir aber den Kram mit
den blöden Brüchen ersparen und die 1 darstellen !
LG, Al-Chwarizmi
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