ggT im ZPE-Ring < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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In meinem Skript steht: Der ggT zweier Elemente im ZPE-Ring existiert stets.
Ist das eine Definition oder kann man das aus der Definition des ZPE-Rings irgendwie folgern und wenn ja, wie?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:36 So 11.10.2009 | | Autor: | abakus |
> In meinem Skript steht: Der ggT zweier Elemente im ZPE-Ring
> existiert stets.
> Ist das eine Definition oder kann man das aus der
> Definition des ZPE-Rings irgendwie folgern und wenn ja,
> wie?
Hallo,
um die Aussage zu bestätigen, ist nach meinem Verständnis (OHNE JEGLICHE KENNTNISSE VON ZPE-RINGEN) zweierlei ausreichend:
1) Für zwei beliebige Elemente des Rings existiert in diesem Ring irgendein gemeinsamer Teiler.
2) Der Ring besitzt ein größtes Element.
Falls ich damit richtig liege: Kommst du damit klar?
Gruß Abakus
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Ja, ich denke das reicht. Auch weil der ZPE-Ring ein Einselement besitzen muss und eine Zerlegung in unzerlegbare Elemente existiert. Fehlt das Einselement im Ring müssen zwei Elemente jedoch keinen Teiler besitzen. Danke für den Denkanstoß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:49 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > In meinem Skript steht: Der ggT zweier Elemente im ZPE-Ring
> > existiert stets.
> > Ist das eine Definition oder kann man das aus der
> > Definition des ZPE-Rings irgendwie folgern und wenn ja,
> > wie?
>
> Hallo,
> um die Aussage zu bestätigen, ist nach meinem
> Verständnis (OHNE JEGLICHE KENNTNISSE VON ZPE-RINGEN)
> zweierlei ausreichend:
> 1) Für zwei beliebige Elemente des Rings existiert in
> diesem Ring irgendein gemeinsamer Teiler.
Das hat man.
> 2) Der Ring besitzt ein größtes Element.
Das hat man nicht. Ringe besitzen niemals groesste Elemente (oder man hat ein sehr komisches Verstaendnis von "groesste Elemente").
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:51 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> In meinem Skript steht: Der ggT zweier Elemente im ZPE-Ring
> existiert stets.
> Ist das eine Definition oder kann man das aus der
> Definition des ZPE-Rings irgendwie folgern und wenn ja,
> wie?
Das ist keine Definition, sondern eine zu beweisende Aussage.
In einem ZPE-Ring hast du ja eine eindeutige Zerlegung in Primfaktoren, wie in [mm] $\IZ$.
[/mm]
So. Erinnst du dich nun wie du in der (Grund-)Schule groesste gemeinsame Teiler bestimmt hast? Sagen wir mal von $20$ und $-32$.
Du hast doch eine Primfaktorzerlegung genommen, also $20 = 5 [mm] \cdot 2^2$ [/mm] und $-32 = (-1) [mm] \cdot 2^5$. [/mm] Dann hast du die Primfaktoren, die in beiden Darstellungen vorkommen, genommen und jeweils mit dem kleineren Exponenten ausgestattet: hier ist das 2 mit dem Exponent 2.
Deswegen ist ein ggT von 20 und $-32$ gerade [mm] $2^2 [/mm] = 4$.
So. Und jetzt ueberleg dir mal: wie macht man das wohl in ZPE-Ringen?
LG Felix
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Dann hatte Abacus doch aber nicht unrecht, wenn er gesagt hat (oder meinte), dass es für das Vorhandensein eines ggT wichtig ist, dass die zu betrachtende Menge von Zahlen geordnet ist und ein Einselement hat. Und dass das in ZPE-Ringen der Fall ist.
Denn dann kann ich allgemein zwei Elemente miteinander vergleichen und herausfinden, welches das größere ist. Wenn ich also die Elemente x,y als Elemente einer ZPE-Ringes wähle und ihre Primfaktorzerlegung wie folgt:
[mm] x=r_{1}*...*r_{i}
[/mm]
[mm] y=q_{1}*...*q_{j},
[/mm]
dann kann ich die Elemente wechselseitig vergleichen und alle übereinstimmenden herausfinden, diese dann der Größe nach ordnen und das größte wählen.
Die Grundvoraussetzung ist aber die Ordnung, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:05 Mo 12.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Dann hatte Abacus doch aber nicht unrecht, wenn er gesagt
> hat (oder meinte), dass es für das Vorhandensein eines ggT
> wichtig ist, dass die zu betrachtende Menge von Zahlen
> geordnet ist und ein Einselement hat. Und dass das in
> ZPE-Ringen der Fall ist.
Nicht ganz: auf ZPE-Ringen gibt es keine Ordnung. Das einzige, wofuer man eine Ordnung braucht, sind die Exponenten.
> Denn dann kann ich allgemein zwei Elemente miteinander
> vergleichen und herausfinden, welches das größere ist.
Nein. Du kannst nur sagen, ob sie gleich sind (oder zumindest bis auf Einheiten gleich) oder eben nicht.
> Wenn ich also die Elemente x,y als Elemente einer
> ZPE-Ringes wähle und ihre Primfaktorzerlegung wie folgt:
> [mm]x=r_{1}*...*r_{i}[/mm]
> [mm]y=q_{1}*...*q_{j},[/mm]
Waehle lieber ein Produkt der Art $x = [mm] \varepsilon_1 \prod_{i=1}^r p_i^{e_i}$ [/mm] mit paarweise verschiedenen Primelementen [mm] $p_i$ [/mm] und mit [mm] $\varepsilon_1 \in R^\ast$ [/mm] (Einheit) und [mm] $e_i \in \IN$.
[/mm]
> dann kann ich die Elemente wechselseitig vergleichen und
> alle übereinstimmenden herausfinden, diese dann der
> Größe nach ordnen und das größte wählen.
Nein. Bei Polynomen ueber einem endlichen Koerper z.B. gibt es keine irgendwie natuerliche Ordnung. Du kannst dir natuerlich irgendeine ausdenken, aber die hat nichts mit der Primfaktorzerlegung zu tun.
LG Felix
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