ggT berechnen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:11 So 13.07.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie den ggT(9x+15,4x+7) für x [mm] \in [/mm] Z >=0 |
Hallo,
kann mir bitte jmd. zeigen wie ich den Anfang machen kann bzw. helfen wie ich es machen könnte?
Ohne dem x sollte es ja kein Problem sein, aber mit dem x bin ich gerade ein bisschen verwirrt.
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 So 13.07.2014 | | Autor: | Ladon |
Hallo capri,
nutze doch, dass für $x,y>0$ gilt, dass
$ggT(x,y)=ggT(y,x)$,
$ggT(x,y)=ggT(x,y-x)$ für $x<y$,
$ggT(x,y)=ggT(x,y+mx)$ mit [mm] $m\in\IZ$.
[/mm]
Dann folgt
$ggT(9x+15,4x+7)=ggT(4x+7,9x+15)=ggT(4x+7,9x+15-2[4x+7])=ggT(4x+7,x+1)=ggT(x+1,4x+7)=ggT(x+1,4x+7-4(x+1))=ggT(x+1,3)$
$x+1$ und $3$ besitzen immer dann einen gemeinsamen Teiler, wenn $3|(x+1)$, denn $3$ ist eine Primzahl. So würde ich vorgehen. Vielleicht findest du aber auch einen anderen Lösungsweg mit Hilfe der Rechenregeln aus ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
MfG Ladon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:56 So 13.07.2014 | | Autor: | capri |
Hallo,
erstmal danke für deine Antwort.
einige Fragen hätte ich noch,
$ ggT(4x+7,9x+15-2[4x+7]) $ wie kommst du hier auf die 2?
und hier auf die 4 ? $ ggT(x+1,4x+7-4(x+1)) $, also vor der Klammer meine ich.
Ich habe mal bisschen im Internet recherchiert und da habe ich etwas gefunden, da meinte man kann es mit Polynomdivision machen.
Dann habe ich halt:
[mm] (9x+15):(4x+7)=\bruch{9}{4} [/mm] Rest: [mm] -\bruch{3}{4}
[/mm]
dann sollte man es nochmal andersrum machen also
(4x+7):(9x+15)= [mm] \bruch{4}{9} [/mm] Rest: [mm] \bruch{1}{3}
[/mm]
aber dann weiß ich halt nicht weiter.
Würdest du evtl. wissen was die damit meinen?
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:12 So 13.07.2014 | | Autor: | Ladon |
> Hallo,
> erstmal danke für deine Antwort.
> einige Fragen hätte ich noch,
> [mm]ggT(4x+7,9x+15-2[4x+7])[/mm] wie kommst du hier auf die 2?
> und hier auf die 4 ? [mm]ggT(x+1,4x+7-4(x+1)) [/mm], also vor der
> Klammer meine ich.
Schau dir einfach mal die dritte Rechenregel an, die ich dir aufgeschrieben habe und wähle [mm] $m=-2\in\IZ$ [/mm] bzw. [mm] $m=-4\in\IZ$.
[/mm]
> Ich habe mal bisschen im Internet recherchiert und da habe
> ich etwas gefunden, da meinte man kann es mit
> Polynomdivision machen.
>
> Dann habe ich halt:
>
> [mm](9x+15):(4x+7)=\bruch{9}{4}[/mm] Rest: [mm]-\bruch{3}{4}[/mm]
>
> dann sollte man es nochmal andersrum machen also
> (4x+7):(9x+15)= [mm]\bruch{4}{9}[/mm] Rest: [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> aber dann weiß ich halt nicht weiter.
> Würdest du evtl. wissen was die damit meinen?
Nein, tut mir Leid. Zahlentheorie ist eigentlich nicht so mein Thema. Dazu müsste ich nachforschen bzw. Erinnerung auffrischen.
LG
Ladon
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Hallo,
> Hallo,
> erstmal danke für deine Antwort.
> einige Fragen hätte ich noch,
> [mm]ggT(4x+7,9x+15-2[4x+7])[/mm] wie kommst du hier auf die 2?
> und hier auf die 4 ? [mm]ggT(x+1,4x+7-4(x+1)) [/mm], also vor der
> Klammer meine ich.
>
> Ich habe mal bisschen im Internet recherchiert und da habe
> ich etwas gefunden, da meinte man kann es mit
> Polynomdivision machen.
Ich als andere Internetquelle halte dagegen, dass das keine so gut Vorgehensweise ist bzw. Beschreibung der Vorgehensweise.
Denn wenn man Polynomdivision macht ist das nur ein Hilfsmittel um den euklidischen Algorithmus anzuwenden.
Und da ist das wie es Ladon macht deutlich geschickter, insbesondere in der Darstellung. Schlußendlich ist es aber auch nur der euklidische Algorithmus
> Dann habe ich halt:
>
> [mm](9x+15):(4x+7)=\bruch{9}{4}[/mm] Rest: [mm]-\bruch{3}{4}[/mm]
>
Und das ist Unfug. Das sind Polynome über [mm] $\mathbb [/mm] Z$ daher darf der teiler in der Polynomdivision auch nur ganzzahlig sein. Wennn dann ist es 2 teiler... und surprise, surprise wir sind bei Ladon's Rechenweg.
> dann sollte man es nochmal andersrum machen also
> (4x+7):(9x+15)= [mm]\bruch{4}{9}[/mm] Rest: [mm]\bruch{1}{3}[/mm]
>
> aber dann weiß ich halt nicht weiter.
> Würdest du evtl. wissen was die damit meinen?
>
> LG
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