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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 08.06.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | I) Bestimmen Sie einen ggT von [mm] $T^3+2T^2+2T+1$ [/mm] und [mm] $T^2+T+1$
[/mm]
II) Bestimmen Sie einen ggT von [mm] T^5+T^2-T [/mm] und [mm] T^4+T-1 [/mm] |
I) Die Zerlegung des ersten Polynoms ist ziemlich offensichtlich:
[mm] $(T+1)(T^2+T+1)$ [/mm] das zweite Polynom ist irreduzibel (hatten wir in der Vorlesung) [mm] $T^2+T+1$ [/mm] also ist der ggT einfach [mm] $T^2+T+1$
[/mm]
II) Naja, hier ist die Zerlegung noch offensichtlicher:
[mm] $T(T^4+T-1)$, [/mm] womit sofort klar ist, dass [mm] $T^4+T-1$ [/mm] der ggT ist.
Meine eigentlich frage ist, dass ich bei solchen Aufgaben auf nichts besonderes achten muss, oder. Es ist im Grunde ganz normale linear Faktorzerlegung also Nullstellenberechnung und kann ich so auch aufschreiben zum Beispiel wenn ich eine Polynomdivision mache, oder um auf die Zerlegung komme die Nullstellen berechne etc.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:16 Mo 09.06.2014 | | Autor: | abakus |
> I) Bestimmen Sie einen ggT von [mm]T^3+2T^2+2T+1[/mm] und [mm]T^2+T+1[/mm]
>
> II) Bestimmen Sie einen ggT von [mm]T^5+T^2-T[/mm] und [mm]T^4+T-1[/mm]
> I) Die Zerlegung des ersten Polynoms ist ziemlich
> offensichtlich:
>
> [mm](T+1)(T^2+T+1)[/mm] das zweite Polynom ist irreduzibel (hatten
> wir in der Vorlesung) [mm]T^2+T+1[/mm] also ist der ggT einfach
> [mm]T^2+T+1[/mm]
>
> II) Naja, hier ist die Zerlegung noch offensichtlicher:
>
> [mm]T(T^4+T-1)[/mm], womit sofort klar ist, dass [mm]T^4+T-1[/mm] der ggT
> ist.
>
> Meine eigentlich frage ist, dass ich bei solchen Aufgaben
> auf nichts besonderes achten muss, oder.
Das kommt darauf an, was du unter "nichts besonderes" verstehst.
Ansonsten gibt es sicher viele Methoden, um die Aufgabe zu lösen (z.B. auch den Euklidischen Algorithmus).
Gruß Abakus
> Es ist im Grunde
> ganz normale linear Faktorzerlegung also
> Nullstellenberechnung und kann ich so auch aufschreiben zum
> Beispiel wenn ich eine Polynomdivision mache, oder um auf
> die Zerlegung komme die Nullstellen berechne etc.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:22 Mo 09.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann stelle ich die Frage mal ein wenig konkreter.
Also zu erst würde ich gerne wissen, ob meine Zerlegung so richtig ist. Das sollte aber passen.
Die zweite Frage ist, ob ich solche Aufgaben so lösen kann, dass ich einfach Nullstellen berechne und dazu die normalen Verfahren, also pq-Formel, Polynomdivision etc. verwenden kann und es auch so aufschreiben darf.
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Hallo,
> Dann stelle ich die Frage mal ein wenig konkreter.
> Also zu erst würde ich gerne wissen, ob meine Zerlegung
> so richtig ist. Das sollte aber passen.
Hallo, ja klar, die sind richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die zweite Frage ist, ob ich solche Aufgaben so lösen
> kann, dass ich einfach Nullstellen berechne und dazu die
> normalen Verfahren, also pq-Formel, Polynomdivision etc.
> verwenden kann und es auch so aufschreiben darf.
Weshalb nicht? Das kommt halt a) schnell an eine Grenze, wo man nicht mehr weiterkommt und b) braucht es keine Nullstellen für einen [mm] ggT\ne{1}.
[/mm]
Wie würdest du im Fall der Polynome
[mm] X^4+X^3+2*X^2+X+1 [/mm] sowie [mm] X^4-2*X^3+4*X^2-2*X+3
[/mm]
vorgehen?
Bedeutet: deine Methode ist für Spezialfälle geeignet, i.a. aber eher nicht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:08 Di 10.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Die Nullstellen einfach deshalb um die linear Faktorzerlegung zu finden, welche ich dann hinterher vergleichen kann.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Di 10.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Die Nullstellen einfach deshalb um die linear
> Faktorzerlegung zu finden, welche ich dann hinterher
> vergleichen kann.
das ist mir schon auch klar. 
Daher mein Beispiel: beide Polynome besitzen keine reellen Nullstellen, jedoch einen (quadratischen) ggT.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:22 Di 10.06.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich habe ein wenig rumprobiert, aber für dein Beispiel keine Faktorisierung gefunden. Wie würde die denn hier aussehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:34 Di 10.06.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe ein wenig rumprobiert, aber für dein Beispiel
> keine Faktorisierung gefunden. Wie würde die denn hier
> aussehen?
In beiden Polynomen steckt der Faktor [mm] X^2+1
[/mm]
FRED
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