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Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - gew. DGL 1.Ordnung
gew. DGL 1.Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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gew. DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:34 Di 17.05.2011
Autor: zocca21

Aufgabe
Bestimmen sie die Lösung der Differentialgleichungen:

a) y' = [mm] 2x(1+y^2) [/mm]

b) y' = - [mm] \bruch{y^2}{x^2} [/mm]

a)

[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] 2x(1+y^2) [/mm]

[mm] \integral (1+y^2) [/mm] dy [mm] =\integral [/mm]  2x dx

y + [mm] \bruch{1}{3} y^3 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + c

Hier hänge ich nun. Wie kann ich nun die Gleichung nach y auflösen. Hätte ich [mm] y^2 [/mm] anstatt [mm] y^3 [/mm] könnte ich ja eine quadratische Ergänzung machen. Aber wie geh ich nun hier vor? Da fehlt mir wohl elementares Schulwissen :(

b)
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] -\bruch{y^2}{x^2} [/mm]


[mm] \integral \bruch{dy}{y^2} [/mm] = [mm] \integral -\bruch{dx}{x^2} [/mm]

- [mm] \bruch{1}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + C

[mm] \bruch{1}{y} [/mm] = - [mm] \bruch{1}{x} [/mm] -  C

y(x) = - x - [mm] \bruch{1}{c} [/mm]

Ist das korrekt?

Vielen Dank für die Hilfe



        
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Di 17.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo zocca21,


> Bestimmen sie die Lösung der Differentialgleichungen:
>  
> a) y' = [mm]2x(1+y^2)[/mm]
>  
> b) y' = - [mm]\bruch{y^2}{x^2}[/mm]
>  a)
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]2x(1+y^2)[/mm]
>  
> [mm]\integral (1+y^2)[/mm] dy [mm]=\integral[/mm]  2x dx [haee]

Du teilst doch auf beiden Seiten durch [mm]1+y^2[/mm]

Also [mm]\int{\frac{1}{1+y^2} \ dy} \ = \ \int{2x \ dx}[/mm]

Und hier nochmal weiter ...

>  
> y + [mm]\bruch{1}{3} y^3[/mm] = [mm]x^2[/mm] + c
>  
> Hier hänge ich nun. Wie kann ich nun die Gleichung nach y
> auflösen. Hätte ich [mm]y^2[/mm] anstatt [mm]y^3[/mm] könnte ich ja eine
> quadratische Ergänzung machen. Aber wie geh ich nun hier
> vor? Da fehlt mir wohl elementares Schulwissen :(
>  
> b)
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]-\bruch{y^2}{x^2}[/mm]
>  
>
> [mm]\integral \bruch{dy}{y^2}[/mm] = [mm]\integral -\bruch{dx}{x^2}[/mm] [ok]
>  
> - [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = [mm]\bruch{1}{x}[/mm] + C [ok]
>  
> [mm]\bruch{1}{y}[/mm] = - [mm]\bruch{1}{x}[/mm] -  C [ok]
>  
> y(x) = - x - [mm]\bruch{1}{c}[/mm] [eek]

Abenteuerliche Bruchrechnung ist das !!

Leite mal wieder ab!

[mm]y'(x)=-1[/mm] und ist das [mm]=-y^2/x^2[/mm]?


>  
> Ist das korrekt?


Nee, mache im letzten richtigen Schritt vor dem Übergang zum Kehrbruch rechterhand erstmal gleichnamig!

>  
> Vielen Dank für die Hilfe
>


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:01 Mi 18.05.2011
Autor: zocca21

Danke sehr!

Ok zur a)

arctan(y) = [mm] x^2 [/mm] + c

y(x) = [mm] tan(x^2 [/mm] + c)

Nun schau ich mir die b) nochmal an und versuch mal die Gleichung noch richtig umzuformen
Bezug
                        
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:03 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Danke sehr!
>  
> Ok zur a)
>  
> arctan(y) = [mm]x^2[/mm] + c
>  
> y(x) = [mm]tan(x^2[/mm] + c) [ok]

Denke daran, dass die Angabe des Definitionsbereichs zur Lösung gehört!

>  
> Nun schau ich mir die b) nochmal an und versuch mal die
> Gleichung noch richtig umzuformen

Ok, ist nicht wild ...

Kannst ja posten, was du rausbekommst ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:10 Mi 18.05.2011
Autor: zocca21

Was bedeutet denn rechterhand erstmal gleichnamig machen?

Vielen Dank
Bezug
                                        
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:17 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Was bedeutet denn rechterhand erstmal gleichnamig machen?

Äääh, Brüche addiert man, indem man gleichnamig macht ...

Du hattest

[mm]\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}-C[/mm]

Also [mm]\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}-\frac{Cx}{x}=-\frac{1+Cx}{x}[/mm]

Nun kannst du zum Kehrbruch übergehen.

Sonst rechne zu Fuß:

[mm]\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}-C \ \ \ \mid\cdot{}y[/mm]

[mm]\Rightarrow 1=y\cdot{}\left(-\frac{1}{x}-C\right)[/mm]

Und wie löst du das nach y auf?

>
> Vielen Dank

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                                
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:25 Mi 18.05.2011
Autor: zocca21

Wäre dann y = [mm] \bruch{1}{ -\bruch{1}{x} - c} [/mm]

Gerade habe ich auch das Vorgehen bei so einem Kehrbruch verstanden dank deiner sehr ausführlichen Erlärung in https://matheraum.de/forum/Formelumstellung/t661496

Vielen Dank nochmal ;)
Bezug
                                                        
Bezug
gew. DGL 1.Ordnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:27 Mi 18.05.2011
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> Wäre dann y = [mm]\bruch{1}{ -\bruch{1}{x} - c}[/mm]

Ja, aber so eine ollen Doppelbruch lässt niemand stehen.

Wenn du den weghaust, kommst du genau auf dasselbe Ergebnis, das sich bei direktem Gleichnamigmachen ergibt ...

>  
> Gerade habe ich auch das Vorgehen bei so einem Kehrbruch
> verstanden dank deiner sehr ausführlichen Erlärung in
> https://matheraum.de/forum/Formelumstellung/t661496
>  
> Vielen Dank nochmal ;)

Gruß und [gutenacht]

schachuzipus

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