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| Aufgabe | Wann ist die Summe von zwei unabhängigen geometrisch mit Parameter p1 [mm] \in [/mm] (0, 1) und
p2 [mm] \in [/mm] (0, 1) verteilten Zufallsvariablen wieder geometrisch verteilt mit Parameter r [mm] \in [/mm] (0, 1)?
Beweisen Sie ihre Antwort und berechnen Sie gegebenenfalls r.
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Hallo!
ICh habe jetzt so angefangen
[mm] X_x(t) [/mm] = E(exp(i*t*X) = [mm] \summe_{}^{} [/mm] exp(i*n*X)* [mm] p_1(1-p_1)^n
[/mm]
[mm] X_y(t) [/mm] =
X_(x+y)(t) = [mm] X_x(t)*X_y(t)
[/mm]
= .....
= [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \summe_{k=0}^{n} [/mm]
[mm] exp(i*t*n)*p_1*p_2*(1-p_1)^k*(1-p_2)^{n-k}
[/mm]
Ist das bis hierhin richtig?
Wenn ja wie geht es jetzt weiter?
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:03 Mo 18.06.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Franziska,
ich meine, du denkst hier zu kompliziert.
Ich bin mir sehr sicher, dass die Summe unter den getroffen Annahmen
nie geometrisch verteilt ist.
Angenommen, die Wahrscheinlichkeitsfunktion der geometrischen Verteilung
ist gegeben durch $f(x)=P(X=x)=(1-p)^xp$ fuer $x=0,1,2,...$. Wenn die
Summe $S$ geometrisch verteilt ist, so ist [mm] $P(S=0)=r=P(X_1=0,X_2=0)=p_1p_2$ [/mm] und
[mm] $P(S=1)=r(1-r)=P(X_1=1,X_2=0)+P(X_1=0,X_2=1)=p_1(1-p_1)p_2+p_2(1-p_2)p_1=p_1p_2(2-p_1-p_2)$.
[/mm]
Ich muss jetzt weg, meine aber, dass das zu einem Widerspruch fuehrt
[mm] ($p_1=1$). [/mm] Berichte bitte, ob auch du zu einem Widerspruch gelangst.
lg
Luis
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