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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:15 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei $|x|<1. Setze [mm] $a_{n}=\sum_{k=0}^{n}x^{k}$ [/mm] und beweise [mm] $\limes a_{n}=\frac{1}{1-x}$ [/mm] |
Hallo,
Durch Induktion bewiesen habe ich schon einmal: [mm] $\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$
[/mm]
falls $|x|<1$ gilt, dann ist ja klar dass der Grenzwert gegen [mm] $\frac{1}{1-x}$
[/mm]
Wäre das so in Ordnung?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:20 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei $|x|<1. Setze [mm]$a_{n}=\sum_{k=0}^{n}x^{k}$[/mm] und beweise
> [mm]$\limes a_{n}=\frac{1}{1-x}$[/mm]
> Hallo,
>
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> Durch Induktion bewiesen habe ich schon einmal:
> [mm]\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}[/mm]
>
> falls [mm]|x|<1[/mm] gilt,
das gilt sogar für x [mm] \ne [/mm] 1.
> dann ist ja klar dass der Grenzwert gegen
> [mm]\frac{1}{1-x}[/mm]
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
Ja, falls Ihr auf den Weihnachtsinseln in der 1. Klasse Grundschule gezeigt habt, dass [mm] (x^n) [/mm] eine Nullfolge ist, falls |x|<1.
FRED
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
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> Danke und Gruss
>
> kushkush
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Ja, falls Ihr auf den Weihnachtsinseln in der 1. Klasse Grundschule gezeigt habt, > dass eine Nullfolge ist, falls |x|<1.
[mm] $\limes a_{n}=\limes_{n\rightarrow \infty}(x^{n})=0$:
[/mm]
[mm] $\exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] \ \ [mm] |a_n-0|<\epsilon [/mm] \ \ [mm] \forall [/mm] n>N$
[mm] $|x^{n}-0|<\epsilon$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow nln(x)
[mm] $\Rightarrow n<\frac{ln(\epsilon)}{ln(x)}$
[/mm]
?
[mm] $x^{n}$ [/mm] ist monoton fallend und unten beschränkt bei 0 also ist der Grenzwert 0 ?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 17.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du solltest selbst sehen, dass da z. Bsp für [mm] x=1/e^2, \epsilon=1/e [/mm] steht
n<1/2.
Findest du deinen Fehler selbst? wo hast du |x|<1 verwendet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:55 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
< Findest du deinen Fehler selbst?
ln(x) ist falsch, x kann ja auch negativ sein ...?
< wo hast du |x|<1 verwendet
gar nicht... ich kann damit ja abschätzen dass [mm] |x^{n}| [/mm] auch kleiner als 1 sein wird, aber wie hilft mir das?
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:01 Do 17.02.2011 | | Autor: | fred97 |
Du bist ausgegangen von
$ [mm] |x^{n}-0|<\epsilon [/mm] $,
also von
$ [mm] |x|^n<\epsilon [/mm] $
Logarithmieren liefert:
(*) $n*ln(|x|) < [mm] ln(\epsilon)$
[/mm]
Da |x|<1 ist, ist ln(|x|)<0. Was wird also aus (*), wenn Du durch ln(|x|) teilst ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Do 17.02.2011 | | Autor: | kushkush |
> Was wird also aus (*)
[mm] $n>\frac{ln{\epsilon}}{ln(|x|)}$
[/mm]
Und damit wäre ich fertig mit dem Beweis für die Nullfolge?
> FRED
Danke
Gruss
kushkush
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:33 Do 17.02.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
unter der Vors [mm] \epsilon<1, [/mm] d.h. rechte Seite >0 hast du jetzt ne Nullfolge, man sollte das allerdings ordenlich aufschreiben; damit gilt für alle n>N mit N=......
Gruss leduart.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo
Damit gilt [mm] $\forall [/mm] \ n>N [mm] \wedge \forall [/mm] \ [mm] \epsilon<1, N=\frac{ln(e)}{ln(|x|)}$ $|x^{n}-0|<\epsilon$
[/mm]
Ist es so ordentlich aufgeschrieben?
Danke.
Gruss
kushkush
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Hi,
> Damit gilt [mm]\forall \ n>N \wedge \forall \ \epsilon<1, N=\frac{ln(e)}{ln(|x|)}[/mm]
> [mm]|x^{n}-0|<\epsilon[/mm]
>
> Ist es so ordentlich aufgeschrieben?
Naja.
Ich würde es so notieren:
[mm] $\forall \varepsilon\in(0,1)\, \forall n>N=\frac{\ln\varepsilon}{\ln |x|}: |x^n-0|<\varepsilon$ [/mm]
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 So 20.02.2011 | | Autor: | kushkush |
Hi kamaleonti,
Danke!!!
Gruss
kushkush
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