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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 22.06.2008 | | Autor: | Phecda |
Hallo
die Dimension des Kerns [mm] Kern(A-\lambda*I) [/mm] für einen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] heißt geometrische Vielfachheit.
Die Vielfachheit eines Eigenwertes [mm] \lambda [/mm] im charakteristischen Polynom nennt man algebraische Vielfachheit.
Nun wollte ich mir überlegen warum die geom. Vielfachheit immer kleiner als die algebraische ist?
Kann mir jmd auf die Sprünge helfen
danke
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> Hallo
> die Dimension des Kerns [mm]Kern(A-\lambda*I)[/mm] für einen
> Eigenwert [mm]\lambda[/mm] heißt geometrische Vielfachheit.
> Die Vielfachheit eines Eigenwertes [mm]\lambda[/mm] im
> charakteristischen Polynom nennt man algebraische
> Vielfachheit.
> Nun wollte ich mir überlegen warum die geom. Vielfachheit
> immer kleiner als die algebraische ist?
Dies ist nicht exakt richtig formuliert: die geometrische Vielfachheit kann nur nicht grösser als die algebraische werden, sie braucht aber keineswegs echt kleiner als die algebraische Vielfachheit zu sein.
> Kann mir jmd auf die Sprünge helfen
Angenommen Du hast einen Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] mit geometrischer Vielfachheit [mm] $n_1$, [/mm] so kannst Du durch Basistransformation die Matrix zumindest soweit partiell diagonalisieren, dass die Untermatrix von [mm] $i=1\ldots n_1$ [/mm] und [mm] $j=1\ldots n_1$ [/mm] diagonalisiert ist und in ihrer Diagonale genau [mm] $n_1$ [/mm] mal der Eigenwert [mm] $\lambda_1$ [/mm] auftritt, woraus sich ergibt, dass die algebraische Vielfachheit von [mm] $\lambda_1$ [/mm] mindestens gleich [mm] $n_1$ [/mm] (oder grösser) sein muss.
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