genau eine Lös.einer Gleichung < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:04 Mo 20.05.2013 | | Autor: | locke123 |
| Aufgabe | | Zeige, dass es genau ein [mm] x\in\IR [/mm] mit [mm] x^{3}=2 [/mm] gibt. Zeige weiter, dass x irrational ist. |
Hallo Leute,
ich habe Probleme zu zeigen, dass [mm] \wurzel[3]{2} [/mm] die einzige Lösung von [mm] x^{3} [/mm] = 2 ist. Der zweite Teil der Aufgabe ist klar. Oder muss ich die Eindeutigkeit überhaupt zeigen oder reicht die Existenz?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mo 20.05.2013 | | Autor: | M.Rex |
> Zeige, dass es genau ein [mm]x\in\IR[/mm] mit [mm]x^{3}=2[/mm] gibt. Zeige
> weiter, dass x irrational ist.
> Hallo Leute,
>
> ich habe Probleme zu zeigen, dass [mm]\wurzel[3]{2}[/mm] die einzige
> Lösung von [mm]x^{3}[/mm] = 2 ist. Der zweite Teil der Aufgabe ist
> klar. Oder muss ich die Eindeutigkeit überhaupt zeigen
> oder reicht die Existenz?
Du musst die eindeutige Existenz zeigen.
Dazu bemühe mal die strenge Monotonie der Funktion f(x)=x³ in Kombination mit dem Mittelwertsatz.
>
>
> Viele Grüße
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Mo 20.05.2013 | | Autor: | locke123 |
Zwischen- oder Mittelwertsatz hatten wir leider noch nicht.
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Hallo Locke,
> Zwischen- oder Mittelwertsatz hatten wir leider noch nicht.
Das erschwert die Aufgabe durchaus.
Nehmen wir an, es gebe eine Lösung von [mm] x=\wurzel[3]{2}\gdw 2=x^3.
[/mm]
Eine zweite, von dieser verschiedene Lösung kann also dargestellt werden als $y=x+a$ mit [mm] a\in\IR\setminus\{0\}.
[/mm]
Dann muss gelten [mm] x^3=2=y^3=(x+a)^3=x^3+3ax^2+3a^2x+a^3
[/mm]
und somit [mm] 3ax^2+3a^2x+a^3=0.
[/mm]
Da [mm] a\not=0 [/mm] ist, kann man kürzen:
[mm] a^2+3ax+3x^2=0
[/mm]
Jetzt bestimme mal die möglichen a aus dieser quadratischen Gleichung.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:28 Mo 20.05.2013 | | Autor: | locke123 |
Super, vielen vielen Dank :)!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:49 Mo 20.05.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
mit meinem Vorschlag lässt sich zeigen, dass es nur eine Lösung gibt, wenn es eine gibt.
Was sich so allerdings nicht zeigen lässt, ist dass es eine Lösung gibt.
Wie das ohne Zwischenwertsatz gehen soll, ist mir allerdings noch schleierhaft. Den kannst Du aber natürlich erst einmal herleiten und dann benutzen. 
Grüße
reverend
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