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| Aufgabe | Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h. Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des Schittpunkts S.
[mm] a)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}
[/mm]
[mm] h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix} [/mm] |
hallo,
wir haben diese aufgabe zwar schon in der schule vor einer woche gelöst aber ich habe die überhaupt nicht verstanden:/ es wäre echt nett wenn mir jemand sagen könnte wie man die angeht und wie man die löst.
lg
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> Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g und h.
> Berechnen Sie gegebenenfalls die Koordinaten des
> Schittpunkts S.
> [mm]a)g:\vec{x}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
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> [mm]h:\vec{x}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm]
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> hallo,
> wir haben diese aufgabe zwar schon in der schule vor einer
> woche gelöst aber ich habe die überhaupt nicht verstanden:/
> es wäre echt nett wenn mir jemand sagen könnte wie man die
> angeht und wie man die löst.
Hallo,
bei der Lage von Geraden gibt es folgende Möglichkeiten:
1. sie schneiden sich in einem Punkt
2. Sie sind identisch, haben also alle Punkte gemeinsam
3. sie sind parallel, aber nicht identisch.
4. sie sind windschief - eine Spezialität im Dreidimensionalen. In der Ebene geht das ja nicht.
Am besten schaut man sich zunächst die Richtungsvektoren an. Sind diese parallel (kollinear), so kommen nur noch Fall 2. oder 3. infrage.
Genau dies ist bei Deiner Aufgabe der Fall. Siehst Du, daß der Richtungsvektor der 2. Geraden das -3-fache von dem der ersten ist?
Die Frage ist also nur noch: haben die geraden einen gemeinsamen Punkt (dann sind sie gleich) oder ist das nicht der Fall (dann sind sie parallel und nicht identisch)?
Um das herauszubekommen, kannst Du nachschauen, ob der Stützvektor der ersten Geraden ein Punkt der zweiten ist.
Wenn ja, dann haben die beiden Geraden einen gemeinsamen Punkt und gemeinsame Richtung, sind also identisch.
Wenn nein: dann haben sie die gleiche Richtung und keinen gemeinsamen Punkt, sind paralllel und nicht identisch.
Du mußt also schauen, ob das Gleichungssystem, welches Du aus
[mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}[/mm] [/mm] erhältst, eine Lösung hat oder nicht.
Andere Möglichkeit:
Du setzt die beiden Geradengleichungen gleich, also [mm] \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}+s*\begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}, [/mm] und schaust, ob sich ein Widerspruch ergibt oder Lösungen. (Wenn Du das machen möchtest, leg' los und poste, wie weit Du kommst. Es kann dir dann jemand weiterhelfen.)
Gruß v. Angela
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okay vielen dank erstmal für die ausführliche antwort:) ich hab noch eine frage wenn ich die gleichungen gleich setze woran sehe ich denn dann ob es eine lösung gibt oder ein widerspruch?
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> ... wenn ich die gleichungen gleich setze
> woran sehe ich denn dann ob es eine lösung gibt oder ein
> widerspruch?
moin,
erstmal Gleichsetzen, dann denke ich mal, siehst du das schon 
Also Lösung wäre ja was in der Art:
[mm]x=2;y=2;z=x;[/mm] usw.
Widerspruch könnte direkt sein:
[mm]1=2 [/mm] (*großer "Widerspruch Blitz, den ich in LaTeX gerade nicht finden kann*)
oder eben mal 2 verschiedene Lösungen für eine Variable
[mm]x=2;x=3;[/mm]
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hmm... ja i-wie war die frage grad doof;) also wenn ich jetzt z.B. nach der ersten methode von angela h. b. rechne und den stützvektor gleich der geradengleichung der anderen gerade setze, muss ich dann nur t ausrechnen und gucken ob das gleiche rauskommt. also das habe ich gemacht und bei zweien kam [mm] \bruch{1}{3} [/mm] raus und beim dritten [mm] -\bruch{1}{3}. [/mm] heißt das, dass die parallel sind?
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> hmm... ja i-wie war die frage grad doof;) also wenn ich
> jetzt z.B. nach der ersten methode von angela h. b. rechne
> und den stützvektor gleich der geradengleichung der anderen
> gerade setze, muss ich dann nur t ausrechnen und gucken ob
> das gleiche rauskommt. also das habe ich gemacht und bei
> zweien kam [mm]\bruch{1}{3}[/mm] raus und beim dritten
> [mm]-\bruch{1}{3}.[/mm] heißt das, dass die parallel sind?
Also du meinst, wenn du das Gleichungssystem aufstellst und t berechnen willst, kommst du auf 2 verschiedene Ergebnisse für t?
Das ist ja dann ein Widerspruch, da es ja nur 1 t in den 3 Gleichungen gibt, welches für eine eindeutige Lösung bei allen 3 gleich sein muss.
Also wären die beiden Geraden in diesem Fall parallel, aber nicht identisch.
(Oder du hast nur einen Vorzeichenfehler drin, hab jetzt nicht nachgerechnet)
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