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| Aufgabe | bestimmen sie die folgenden grenzwerte (falls existent):
(a) [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^{3} +a}}
[/mm]
(wobei a>0 fest bei (a) und(b))
(b) [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x}{\wurzel{a+x} - \wurzel{a}}
[/mm]
[mm] (c)\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel[3]{1+x}}{\wurzel[5]{1+x}}
[/mm]
[mm] (d)\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel[3]{1+x}-1}{\wurzel[5]{1+x}-1}
[/mm]
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
bei (b) habe ich durch erweitern [mm] \infty [/mm] herausbekommen (divergent)
bei (c) bräuchte man den beweis , dass [mm] \limes_{x\rightarrow\0} \wurzel[n]{(x+1)} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{ \limes_{x\rightarrow\0} (x+1)}
[/mm]
bei (a) und (d) fällt mir nichts ein,da sie mir weder monoton ,noch beschränkt
erscheinen.
kann mir jemand helfen,das wäre sehr nett.
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ps: jeder kleinste tipp wird dankbar aufgenommen
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:19 Do 04.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> bestimmen sie die folgenden grenzwerte (falls existent):
>
> (a) [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{x}{\wurzel{x^{3} +a}}[/mm]
>
> (wobei a>0 fest bei (a) und(b))
> (b) [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{x}{\wurzel{a+x} - \wurzel{a}}[/mm]
>
> [mm](c)\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel[3]{1+x}}{\wurzel[5]{1+x}}[/mm]
>
> [mm](d)\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{\wurzel[3]{1+x}-1}{\wurzel[5]{1+x}-1}[/mm]
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> bei (b) habe ich durch erweitern [mm]\infty[/mm] herausbekommen
Mit was hast du denn erweitert? vernünftig wäre mit [mm] \wurzel{a+x} [/mm] + [mm] \wurzel{a} [/mm] zu erweitern, dann hab ich aber nicht [mm] \infty!
[/mm]
> (divergent)
> bei (c) bräuchte man den beweis , dass
> [mm]\limes_{x\rightarrow\0} \wurzel[n]{(x+1)}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{ \limes_{x\rightarrow\0} (x+1)}[/mm]
versteh ich nicht, lim x gegen 0 ist doch nur einach x=0 einsetzen, wenn gegen [mm] \infty [/mm] gemeint ist didividier Zähler und Nenner durch [mm] x^{3/2} [/mm]
> bei (a) und (d) fällt mir nichts ein,da sie mir weder
> monoton ,noch beschränkt
> erscheinen.
Wenn sie nicht beschränkt sind divergieren sie doch! Kennst du die Regel von L'Hopital? die wär hier das einfachste!
Gruss leduart
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ok vielen dank leduart ,ich versuchs mal:
(a)
nach hospital wäre das das gleiche wie
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{(x+a)^{-2/3}} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\ infty} \wurzel[3]{(x+a)^{2}} [/mm] = [mm] \infty [/mm] somit divergent
(b) erweitern ,wie Du schon gesagt hast und ich bekomme doch
tatsächlich [mm] 2\wurzel{a}
[/mm]
(c) da kann ich für die funktion auch [mm] (1+x)^{1/3 -1/5} [/mm] = [mm] (1+x)^{2/15}
[/mm]
was wohl für x gegen 0 gegen 1 läuft.
(d) nach hospital wäre das das gleiche wie [mm] \limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(x+a)^{-2/3}}{(x+a)^{-4/5}} [/mm] was zum gleichen ergebnis führt wie bei (c)
könnte mir jemand netterweise erzählen,ob ich auf dem richtigen dampfer bin?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:04 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok vielen dank leduart ,ich versuchs mal:
>
> (a)
> nach hospital wäre das das gleiche wie
> [mm]\limes_{x\rightarrow\infty} \bruch{1}{(x+a)^{-2/3}}[/mm] =
Die Ableitung hat nichts mehr mit deinem Nenner zu tun
wie kommst du auf ne dritte Wurzel!
Guck dir nochmal meine Ratschlag, Zähler und Nenner durch x Teilen und unten unter die Wurzel ziehen, oder durch [mm] x^{3/2} [/mm] Z und N teilen.
mit L'Hopital kommt man hier nicht weiter.
[mm] >\wurzel[3]{(x+a)^{2}}[/mm] [/mm] = [mm]\infty[/mm]
> somit divergent
> (b) erweitern ,wie Du schon gesagt hast und ich bekomme
> doch
> tatsächlich [mm]2\wurzel{a}[/mm]
> (c) da kann ich für die funktion auch [mm](1+x)^{1/3 -1/5}[/mm] =
> [mm](1+x)^{2/15}[/mm]
> was wohl für x gegen 0 gegen 1 läuft.
> (d) nach hospital wäre das das gleiche wie
> [mm]\limes_{x\rightarrow\ 0} \bruch{(x+a)^{-2/3}}{(x+a)^{-4/5}}[/mm]
> was zum gleichen ergebnis führt wie bei (c)
>
> könnte mir jemand netterweise erzählen,ob ich auf dem
> richtigen dampfer bin?
ausser a alles richtig.
warum bei c nicht gleich 0 einsetzen? soll da wirklich x gegen 0?
Gruss leduart
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 02:39 Fr 05.01.2007 | | Autor: | pumpernickel |
großen dank leduart,ist echt richtig cool ,dass Du hier im forum bist, ich bekomme bei (a) dann 0 als grenzwert heraus.was
ich nicht vestehe ist ,warum nach hospital das ganze divergiert ,anstatt dass
keine lösung zu finden wäre.
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allerdings verstehe ich folgendes über die regel von hospital nicht:
wie kann die regel gelten wenn z.b.:
f(x)= [mm] \bruch{x^{3}+x^{2}-2x-2}{x^{3}-x^{2}-x+1}
[/mm]
nehme ich nenner und zähler als funktionen erhalte ich nach hospital:
sagen wir ich nehme x [mm] \mapsto [/mm] -1
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1} \bruch{3x^{2} +2x-2}{3x^{2} -2x-1} [/mm] =-1/4
(x gegen -1 soll es eigentlich sein,das minus will er nicht zeigen)
aber bei [mm] \limes_{x\rightarrow\-1} \bruch{f"(x)}{g"(x)} [/mm] =
[mm] \limes_{x\rightarrow\-1}\bruch{6x+2}{6x-2} [/mm] erhalte ich für x [mm] \mapsto [/mm] -1
als ergebnis 1/2
wie kann es sein, dass das so ist ? oder habe ich damit etwas getan ,was man nicht darf (hospital mit mehrfachen ableitungen???)?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:49 Fr 05.01.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> allerdings verstehe ich folgendes über die regel von
> hospital nicht:
>
> wie kann die regel gelten wenn z.b.:
> f(x)= [mm]\bruch{x^{3}+x^{2}-2x-2}{x^{3}-x^{2}-x+1}[/mm]
>
> nehme ich nenner und zähler als funktionen erhalte ich nach
> hospital:
> sagen wir ich nehme x [mm]\mapsto[/mm] -1
Da hast du ja keinen "Grenzwert" zu bilden ,sondern der Zähler ist 0 , der Nenner nicht, also ist der Funktionswert 0.
L'Hopital kann man nur anwenden Wenn Zähler und Nenner an der Stelle 0 sind.
Dann ersetzt man in der Nähe der Nullstelle, die Funktion durch ihre Tangente, die ja die Funktion umso besser annähert, je näher man an dem Punkt ist.
denn f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h oder f(x+h)=f(x)*f'(x)*h
(Statt = denk lieber beinahe =.)
WENN jetzt f(x)=0 ist steht da f(x+h)=f'(x)*h
Das sei der Zähler, der Nenner auch mit Nullstelle sei g(x) mit g(x+h)=g'(x)*h
dann hast du [mm] \bruch{f(x+h)}{g(x+h)}=\bruch{f'(x)*h}{g'(x)*h}
[/mm]
so und das jetzt alles noch was schöner mit lim hingeschriben hast du WENN f(x)=0 und g(x)=0
[mm] \limes_{h\rightarrow 0}\bruch{f(x+h)}{g(x+h)}=\bruch{f'(x)}{g'(x)}
[/mm]
und wenn g(x), wie in deinem Beispiel nicht 0 ist, ist das alles natürlich falsch.
Man kann Funktionswerte nicht mit den Ableitungen ausrechnen!
(deshalb braucht man Beweise in Mathe, damit man Formeln die in einem Fall gelten nicht blindlings anwendet.)
Gruss leduart
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft) | | Datum: | 04:56 Sa 06.01.2007 | | Autor: | pumpernickel |
vielen dank
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