für welche z ist cos(z) aus R < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zeigen Sie für z [mm] \in \mathbb{C}:
[/mm]
[mm] cos(3z)=4cos^3(z)-3cos(z). [/mm]
Für welche z [mm] \in \mathbb{C} [/mm] gilt cos(z) [mm] \in \mathbb{R}? [/mm] |
Hallo,
die Gleichung hab ich schon gezeigt, aber beim zweiten Teil komme ich gerade nicht auf einen Ansatz.
Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen??
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Mo 03.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie für z [mm]\in \mathbb{C}:[/mm]
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> [mm]cos(3z)=4cos^3(z)-3cos(z).[/mm]
> Für welche z [mm]\in \mathbb{C}[/mm] gilt cos(z) [mm]\in \mathbb{R}?[/mm]
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> Hallo,
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> die Gleichung hab ich schon gezeigt, aber beim zweiten Teil
> komme ich gerade nicht auf einen Ansatz.
> Kann mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen??
Sei z=x+iy mit x,y [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist
(*) cos(iy)=cosh(y)
Wende auf cos(z)=cos(x+iy) das Additionstheorem an, benutze (*) und bestimme dann z so, dass
Im(cos(z))=0.
FRED
> Vielen Dank
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Hallo kasperkopf,
wie's geht, hat Fred ja schon gesagt.
Auch die Beziehung [mm] \sin{(iy)}=i\sinh{(y)} [/mm] könnte noch nützlich sein.
Du solltest auf folgende Gleichung kommen:
[mm] \cos{(x+iy)}=\cos{(x)}\cosh{(y)}-i\sin{(x)}\sinh{(y)}
[/mm]
Hier hilft vielleicht auch noch die Definition des [mm] \sinh.
[/mm]
[mm] \sinh{(y)}=\bruch{e^y-e^{-y}}{2}
[/mm]
Hier fehlen noch wenige Schritte.
Im Endeffekt zeigt sich, dass z rein reell oder rein imaginär sein muss, damit [mm] \cos{(z)}\in\IR [/mm] ist.
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mo 03.02.2014 | | Autor: | Kasperkopf |
Vielen Dank euch beiden. =)
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