für welche x konv. d. Reihen? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:02 Mi 11.02.2009 | | Autor: | mmore |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] bzw. z [mm] \in \IC [/mm] konvergieren die folgenden Reihen?
1. [mm] \summe_{n\ge0}\vektor{2n \\n}x^{n}
[/mm]
2. [mm] \summe_{n\ge0}\bruch{1}{2n-1}(x [/mm] - [mm] 1)^{n}
[/mm]
3. [mm] \summe_{n\ge0}\bruch{z^{2n}}{(2n)!} [/mm] |
Hallo,
steh wieder einmal wo an!
bei 1. hab ich mir gedacht, dass egal welches x man einsetzt, es niemals eine Nullfolge ist und somit immer divergiert.
2. das ist eine potenzreihe, und hier hab ich die formel [mm]R = \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{a_{n}} [/mm] verwendet.
[mm] a_{n}=\bruch{1}{2n-1}
[/mm]
R=1 und somit wäre meine ergebnis, dass die Reihe für alle |x-1|<1 konvergiert.
3. nach meinem wissen nach ist es egal, ob man bei einer Reihe in [mm] \IR [/mm] oder [mm] \IC [/mm] rechnet. stimmt das?
mittels quotientenkriterium bin ich auf das hier gekommen:
[mm] \bruch{|z|}{2n+1} \le \bruch{1}{3} [/mm] < 1 für hinreichend große n.
[mm] \Rightarrow [/mm] diese Reihe ist für alle [mm] z\in \IC [/mm] konvergent.
was sagt ihr dazu?
mfg mmore
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo mmore,
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] bzw. z [mm]\in \IC[/mm] konvergieren die
> folgenden Reihen?
>
> 1. [mm]\summe_{n\ge0}\vektor{2n \\n}x^{n}[/mm]
>
> 2. [mm]\summe_{n\ge0}\bruch{1}{2n-1}(x[/mm] - [mm]1)^{n}[/mm]
>
> 3. [mm]\summe_{n\ge0}\bruch{z^{2n}}{(2n)!}[/mm]
> Hallo,
>
> steh wieder einmal wo an!
>
> bei 1. hab ich mir gedacht, dass egal welches x man
> einsetzt, es niemals eine Nullfolge ist und somit immer
> divergiert.
Jede Potenzreihe ist in ihrem Entwicklungspunkt konvergent, hier also Konvergenz zumindest für $x=0$
Rechne mal den Konvergenzradius [mm] $\varrho=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] ...
Benutze dazu die Definition des Binomialkoeffizienten [mm] $\vektor{n\\k}=\frac{n!}{k!\cdot{}(n-k)!}$
[/mm]
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> 2. das ist eine potenzreihe, und hier hab ich die formel [mm]R = \bruch{1}{\limes_{n\rightarrow\infty} sup \wurzel[n]{a_{n}}[/mm]
> verwendet. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]a_{n}=\bruch{1}{2n-1}[/mm]
>
> R=1 und somit wäre meine ergebnis, dass die Reihe für alle
> |x-1|<1 konvergiert.
Also für [mm] $x\in(0,2)$
[/mm]
Wie sieht's an den Rändern aus?
>
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> 3. nach meinem wissen nach ist es egal, ob man bei einer
> Reihe in [mm]\IR[/mm] oder [mm]\IC[/mm] rechnet. stimmt das?
Hmm, es macht zumindest für die Anwendbarkeit der Konvergenzkriterien keinen Unterschied.
Mache dir auch den Unterschied des Konvergenzradius [mm] $\varrho<\infty$ [/mm] in [mm] $\IR$ [/mm] und in [mm] $\IC$ [/mm] klar. In [mm] $\IR$ [/mm] ist das ein offenes Intervall, in [mm] $\IC$ [/mm] eine Kreisscheibe
>
> mittels quotientenkriterium bin ich auf das hier gekommen:
>
> [mm]\bruch{|z|}{2n+1} \le \bruch{1}{3}[/mm] < 1 für hinreichend
> große n.
Wie kommst du auf diesen Ausdruck, ich erhalte da was mit [mm] $|z|^2$ [/mm] ...
Mit der Formel wie oben komme ich auf den Konvergenzradius [mm] $\varrho=\infty$, [/mm] also Konvergenz für [mm] $|z|^2<\infty$, [/mm] also für alle [mm] $z\in\IC$
[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] diese Reihe ist für alle [mm]z\in \IC[/mm] konvergent.
>
>
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> was sagt ihr dazu?
Im Ansatz schon ganz gut, aber rechne die unstimmigen Sachen nochmal nach!
>
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> mfg mmore
>
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>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:14 Do 12.02.2009 | | Autor: | mmore |
danke erstmals.
da kann ich eigentlich ganz zufrieden sein mit mir 
bis auf die folgende dinge, auf die du mich hingewiesen hast:
1. der konvergenzbereich = 0 und somit konvergiert die Reihe für x=0
2.
x=0 [mm] \Rightarrow [/mm] alternierende Reihe
[mm] \bruch{1}{2n-1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2n+1} \Rightarrow [/mm] monoton fallende Nullfolge [mm] \Rightarrow [/mm] konvergent
x=2 divergent, da gilt [mm] 0\le \bruch{1}{2}\summe_{n\ge0}\bruch{1}{n} \le \summe_{n\ge0}\bruch{1}{2n-1} [/mm] (Minorantenkriterium)
3.
hab beim quotientenkriterium n+1 falsch eingesetzt, daher bekam ich |z| heraus.
ich brauch den quotienten eigentlich gar nicht berechnen, sondern es reicht der konvergenzbereich
und der ist [mm] \infty \Rightarrow [/mm] für alle [mm] z\in \IC [/mm] konvergent.
vielen dank nochmals und
mfg
mmore
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:18 Do 12.02.2009 | | Autor: | reverend |
Hallo mmore,
die erste Reihe habe ich mir gestern mal exemplarisch für [mm] x=\bruch{1}{10} [/mm] angeschaut. Da konvergiert sie gegen [mm] \wurzel{\bruch{5}{3}}.
[/mm]
Wie passt das mit Deinem Ergebnis zusammen?
Grüße,
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Do 12.02.2009 | | Autor: | mmore |
> Hallo mmore,
>
> die erste Reihe habe ich mir gestern mal exemplarisch für
> [mm]x=\bruch{1}{10}[/mm] angeschaut. Da konvergiert sie gegen
> [mm]\wurzel{\bruch{5}{3}}.[/mm]
>
> Wie passt das mit Deinem Ergebnis zusammen?
gar nicht, weil es falsch ist. hab wieder einmal unkonzentriert gerechnet. r ist nämlich 1/4
und somit ist die reihe für alle [mm] x\in[-1/4,1/4) [/mm] konvergent.
>
> Grüße,
> reverend
danke nochmals.
mfg mmore
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Hallo nochmal,
> danke erstmals.
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> da kann ich eigentlich ganz zufrieden sein mit mir
>
> bis auf die folgende dinge, auf die du mich hingewiesen
> hast:
>
> 1. der konvergenzbereich = 0 und somit konvergiert die
> Reihe für x=0
Darauf habe ich dich nicht hingewiesen, ich hatte lediglich gesagt, dass eine Potenzreihe immer konvergent ist, nämlich zumindest in ihrem Entwicklungspunkt.
Weiter hatte ich dich darauf hingewiesen, mal den Konvergenzradius zu berechnen, Formel und Tipp und Pipapo oben im post ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]")
LG
schachuzipus
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