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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Do 16.09.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Ich habe es leider immer noch nicht verstanden. Du schriebst:
> Wir machen jetzt einen Trick und gehen zur Faktorisierung über. Sprich: Wir
> inden eine (bezüglich der beiden ersten Koordinaten deterministische (!))
> Funktion $h: [mm] \IR \times \IR \times \Omega \times \Omega \to \IR$ [/mm] mit
>
> [mm] $$E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t,r_t] [/mm] = h(s,r,X,Y) [mm] \circ (S_t,r_t,X,Y).$$
[/mm]
>
> Man schreibt ja häufig:
>
> $$h(s,r) = [mm] E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t=s,r_t=r].$$
[/mm]
>
> Und $h$ ist eine ganz gewöhnliche messbare Funktion, die [mm] Vert$(S_t,r_t)$-fast
[/mm]
> sicher eindeutig bestimmt ist (sie ist also nicht völlig eindeutig, aber das
> macht nichts). Auf jeden Fall ist sie bezüglich der ersten beiden
> Koordinaten deterministisch und daher bezüglich [mm] $\Omega$ [/mm] nur noch
> eine Funktion von $X$ und $Y$.
Das finde ich schon komisch, weil ich ja trotzdem noch den Erwartungswert bzgl. $X$ und $Y$ berechne, und der fehlt mir hier auf der rechten Seite in der ersten Formel.
> Es gilt nun:
>
> [mm] $$E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t=s,r_t=r] [/mm] = [mm] E^Q[g(r,s,X,Y)].$$
[/mm]
Genau, das will man eigentlich beweisen.
> Sicher, dieser Schritt ist nicht so leicht einzusehen und man müsste ihn
> strenggenommen noch beweisen. Der Beweis würde so aussehen: Betrachte erst
> einmal die nicht-faktorisierte bedingte Erwartung:
>
> [mm] $$E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t,r_t]$$
[/mm]
>
> Approximiere die Funktion [mm] $g(r_t,S_t,X,Y$) [/mm] durch Summe von Produkten von
> Funktionen [mm] $k_i(r_t,S_t) \cdot l_i(X,Y)$. [/mm] Für die einzelnen approximierenden
> Funktionen kann man
>
> [mm] $$E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) [/mm] | [mm] S_t,r_t] [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) \cdot E^Q[l_i(X,Y)]$$
[/mm]
>
> zeigen (indem man [mm] $k_i(r_t,S_t)$ [/mm] als messbare Funktion rauszieht und dann
> die Unabhängigkeit von $(X,Y)$ zu [mm] ${\cal F}_t'$ [/mm] ausnutzt, also dann einfach
> den Erwartungswert bildet).
Ja, das verstehe ich alles. Dieser Ansatz hatte mir gefehlt. Ich wollte es über Indikatorfunktionen versuchen, aber da war ich auch nicht weitergekommen.
> Jetzt faktorisiert man bezüglich [mm] $r_t$ [/mm] und [mm] $S_t$ [/mm] und erhält:
>
> [mm] $$E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) [/mm] | [mm] S_t=s,r_t=r] [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n k_i(r,s) \cdot E^Q[l_i(X,Y)]$$
[/mm]
> $$ = [mm] E^Q[\sum_{i=1}^nk_i(r,s)l_i(X,Y)].$$
[/mm]
Das verstehe ich leider nicht. Wieso machst Du aus [mm] $k_i(r_t,S_t)$ [/mm] einfach [mm] $k_i(r,s)$? [/mm] Fehlt da nicht noch irgendwie die Funktion $h$ oder zumindest [mm] $\tilde [/mm] h$?
> Es folgt die Behauptung.
>
> [mm] $$E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t=s,r_t=r] [/mm] = [mm] E^Q[g(r,s,X,Y)]$$
[/mm]
>
> für diese speziellen g's, also für
>
> $$g(r,s,x,y) = [mm] \sum_{i=1}^n k_i(r,s) l_i(x,y).$$
[/mm]
>
> Der Rest sind dann die üblichen Konvergenzargumente (die technisch nicht
> unbedingt einfach sein müssen).
OK, das glaube ich dann auch.
> In die Funktion [mm] $E^Q[g(r,s,X,Y)]$ [/mm] setzen wir nun für jedes feste $s$ und jedes
> feste $r$ die normalverteilten Zufallsvariablen $X$ und $Y$ ein.
> Dann ist $h$ eine
> Funktion von einem normalverteiltem Paar $(X,Y)$, und wir könnnen
> [mm] $E^Q(h(r,s,X,Y))$ [/mm] wie gewohnt berechnen. Genau so, wie du es richtig gemacht
> hast.
Hier taucht wieder die Frage von oben auf. Wieso bildet man [mm] $E^Q(h(r,s,X,Y))$? [/mm] Was ich berechne, ist doch eigentlich
[mm] $E^Q(g(r,s,X,Y))$. [/mm] Und das $h$ ist quasi das Ergebnis des Satzes (rechte Seite mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung uvm). Ich verstehe, dass man das $h$ irgendwie benötigt, um am Ende statt $r$ und $s$ wieder [mm] $r_t$ [/mm] und [mm] $S_t$ [/mm] zu schreiben, aber wie man das richtig aufschreibt, sehe ich noch nicht.
> Anschließend setzen wir für $s$ wieder [mm] $S_t$ [/mm] und für $r$ wieder [mm] $r_t$ [/mm] ein.
> Dadurch erhalten wir dann
>
> [mm] $$E^Q [(g(r_t,S_t,X,Y) [/mm] | [mm] S_t,r_t] [/mm] = h(s,r,X,Y) [mm] \circ (S_t,r_t,X,Y).$$
[/mm]
Also vielen lieben Dank für Deine bisherigen Bemühungen, aber vielleicht könntest Du noch mal auf meine Anmerkungen eingehen. So intuitiv habe ich es wohl verstanden, aber ich hätte es gern noch etwas genauer. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Brigitte
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
Es wird jetzt schwierig das noch genauer aufzuschreiben, aber ich werde mich bemühen.
> Das finde ich schon komisch, weil ich ja trotzdem noch den
> Erwartungswert bzgl. [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] berechne, und der fehlt mir
> hier auf der rechten Seite in der ersten Formel.
Hmh, das wiederum verstehe ich nicht. Links steht doch einfach die bedingte Erwartung, und rechts die Faktorisierung der bedingten Erwartung. Kannst du deine Frage noch mal anders formulieren? Ich weiß gerade nicht, wie ich darauf antworten soll.
> > Jetzt faktorisiert man bezüglich [mm]r_t[/mm] und [mm]S_t[/mm] und
> erhält:
> >
> > [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t=s,r_t=r] = \sum_{i=1}^n k_i(r,s) \cdot E^Q[l_i(X,Y)][/mm]
>
> > [mm]= E^Q[\sum_{i=1}^nk_i(r,s)l_i(X,Y)].[/mm]
>
> Das verstehe ich leider nicht. Wieso machst Du aus
> [mm]k_i(r_t,S_t)[/mm] einfach [mm]k_i(r,s)[/mm]? Fehlt da nicht noch
> irgendwie die Funktion [mm]h[/mm] oder zumindest [mm]\tilde h[/mm]?
Nein, das ist alles richtig so, denke ich. Die Funktion $h$ ist ja das Ganze, halt die faktorisierte bedingte Erwartung. Und es gilt:
[mm] $E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) [/mm] | [mm] S_t,r_t]$
[/mm]
$= [mm] \sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) E^Q[l_i(X,Y)]$,
[/mm]
also erhält man (durch Faktorisieren):
[mm] $E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) [/mm] | [mm] S_t=s,r_t=r]$
[/mm]
$= [mm] \sum_{i=1}^n k_i(r,s) E^Q[l_i(X,Y)]$,
[/mm]
> > Dann ist [mm]h[/mm] eine
> > Funktion von einem normalverteiltem Paar [mm](X,Y)[/mm], und wir
> könnnen
> > [mm]E^Q(h(r,s,X,Y))[/mm] wie gewohnt berechnen. Genau so, wie du
> es richtig gemacht
> > hast.
>
> Hier taucht wieder die Frage von oben auf. Wieso bildet man
> [mm]E^Q(h(r,s,X,Y))[/mm]?
Hier habe ich mich natürlich verschrieben, , es muss
[mm]E^Q(g(r,s,X,Y))[/mm]
heißen.
Ich hoffe es ist jetzt klarer. Mein Problem ist, dass ich die Probleme nicht genau verstehe (das kann durchaus auch bedeuten, dass ich sie übersehe und unterschätze).
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:58 Do 16.09.2004 | | Autor: | Brigitte |
Lieber Stefan!
Danke für Deine weiteren Erklärungen. Ich denke, ich habe es jetzt verstanden.
> > Das finde ich schon komisch, weil ich ja trotzdem noch
> den
> > Erwartungswert bzgl. [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] berechne, und der fehlt mir
>
> > hier auf der rechten Seite in der ersten Formel.
>
> Hmh, das wiederum verstehe ich nicht. Links steht doch
> einfach die bedingte Erwartung, und rechts die
> Faktorisierung der bedingten Erwartung. Kannst du deine
> Frage noch mal anders formulieren? Ich weiß gerade nicht,
> wie ich darauf antworten soll.
Ich dachte, dass die rechte Seite bei Dir immer noch zufällig ist, und zwar nicht nur, weil dort noch [mm] $r_t$ [/mm] und [mm] $S_t$ [/mm] stehen, sondern auch, weil dort noch $X$ und $Y$ stehen. Aber ich interpretiere es nun so, dass in $h$ eben auch die Erwartungswertbildung (für $(X,Y)$) drin steckt.
> > > Jetzt faktorisiert man bezüglich [mm]r_t[/mm] und [mm]S_t[/mm] und
> > erhält:
> > >
> > > [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t=s,r_t=r] = \sum_{i=1}^n k_i(r,s) \cdot E^Q[l_i(X,Y)][/mm]
>
> >
> > > [mm]= E^Q[\sum_{i=1}^nk_i(r,s)l_i(X,Y)].[/mm]
> >
> > Das verstehe ich leider nicht. Wieso machst Du aus
> > [mm]k_i(r_t,S_t)[/mm] einfach [mm]k_i(r,s)[/mm]? Fehlt da nicht noch
> > irgendwie die Funktion [mm]h[/mm] oder zumindest [mm]\tilde h[/mm]?
>
> Nein, das ist alles richtig so, denke ich. Die Funktion [mm]h[/mm]
> ist ja das Ganze, halt die faktorisierte bedingte
> Erwartung. Und es gilt:
>
> [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t,r_t][/mm]
>
> [mm]= \sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) E^Q[l_i(X,Y)][/mm],
OK, das verstehe ich nun auch. Hier steht gerade die Funktion $h$...
> also erhält man (durch Faktorisieren):
>
> [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t=s,r_t=r][/mm]
>
>
> [mm]= \sum_{i=1}^n k_i(r,s) E^Q[l_i(X,Y)][/mm],
und hier wird $r$ und $s$ in $h$ eingesetzt.
> > > Dann ist [mm]h[/mm] eine
> > > Funktion von einem normalverteiltem Paar [mm](X,Y)[/mm], und
> wir
> > könnnen
> > > [mm]E^Q(h(r,s,X,Y))[/mm] wie gewohnt berechnen. Genau so, wie
> du
> > es richtig gemacht
> > > hast.
> >
> > Hier taucht wieder die Frage von oben auf. Wieso bildet
> man
> > [mm]E^Q(h(r,s,X,Y))[/mm]?
>
> Hier habe ich mich natürlich verschrieben, , es
> muss
>
> [mm]E^Q(g(r,s,X,Y))[/mm]
>
> heißen.
Puh, Glück gehabt 
Ja, dann ist jetzt alles klar. Sofern Du die in meine Worte gefassten Ergänzungen nicht mehr kritisierst
Sorry, wenn ich manchmal so begriffsstutzig bin. Du hast es wirklich prima erklärt. Und der entscheidende Ansatz ist ja die
Zusammensetzung von $g$ aus Produkten von Funktionen. Das habe ich auf jeden Fall kapiert.
Liebe Grüße
Brigitte
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Do 16.09.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Brigitte!
> Danke für Deine weiteren Erklärungen. Ich denke, ich habe
> es jetzt verstanden.
Sehr schön. Das freut mich. ![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
> Ich dachte, dass die rechte Seite bei Dir immer noch
> zufällig ist, und zwar nicht nur, weil dort noch [mm]r_t[/mm] und
> [mm]S_t[/mm] stehen, sondern auch, weil dort noch [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] stehen.
> Aber ich interpretiere es nun so, dass in [mm]h[/mm] eben auch die
> Erwartungswertbildung (für [mm](X,Y)[/mm]) drin steckt.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t,r_t][/mm]
> >
>
> > [mm]= \sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) E^Q[l_i(X,Y)][/mm],
>
> OK, das verstehe ich nun auch. Hier steht gerade die
> Funktion [mm]h[/mm]...
Ja. Genauer: $h [mm] \circ (S_t,r_t)$
[/mm]
> > also erhält man (durch Faktorisieren):
> >
> > [mm]E^Q [\sum_{i=1}^n k_i(r_t,S_t) l_i(X,Y) | S_t=s,r_t=r][/mm]
>
> >
> >
> > [mm]= \sum_{i=1}^n k_i(r,s) E^Q[l_i(X,Y)][/mm],
>
> und hier wird [mm]r[/mm] und [mm]s[/mm] in [mm]h[/mm] eingesetzt.
Ja, das ist $h(r,s)$.
> Sorry, wenn ich manchmal so begriffsstutzig bin. Du hast
> es wirklich prima erklärt.
Halt: Erstens bist du ganz bestimmt nicht begriffsstutzig (sondern eher ich, insbesondere in letzter Zeit ). Zweitens habe ich nur dann etwas gut erklärt, wenn es der andere verstanden hat, ein Bemühen vorausgesetzt (und das kann man bei dir natürlich). Und wenn du mit meinen Erklärungen nicht zurechtkommst, dann waren sie eben zu schlecht. Das ist das Gute und manchmal Frustrierende zugleich beim Erklären: Man sieht sofort an der Reaktion, ob es gut oder schlecht war. Ich hätte zum Beispiel die obige Rechnung sofort in die erste Mail schreiben sollen, das war leider keine didaktische Meisterleistung.
> Und der entscheidende Ansatz ist
> ja die
> Zusammensetzung von [mm]g[/mm] aus Produkten von Funktionen. Das
> habe ich auf jeden Fall kapiert.
Ich hoffe nur, das ist auch alles so richtig, wie ich mir das überlegt habe. Willst du das denn als Lemma mit reinnehmen?
Liebe Grüße
Stefan
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