fast sichere Konvergenz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:06 Fr 12.12.2008 | | Autor: | julie |
Hallo ihr Lieben,
ich glaube ich habs im falschen Unterforum gepostet, deswegen hier nochmal:
ich hab ein Problem mit folgender Aufgabe:
Sei $ [mm] {Z_{i}} [/mm] $ eine Folge von i.i.d Zufallsvariablen auf (omega; F , P(.))(sry kanns nicht anders ausdrücken) und der Erwartungswert von $ [mm] |Z_{1}| <\infty. [/mm] $ also E( $ [mm] |Z_{1}| )<\infty [/mm] $
$ [mm] M_{n}(w) [/mm] $ := $ [mm] max\{Z_{1}(w);...;Z_{n}(w)\}. [/mm] $
Man soll jetzt zeigen, dass $ [mm] M_{n}/n \to [/mm] $ 0 fast sicher
Ich denke das mir Borell-Cantelli oder das schwache Gesetz der großen Zahlen hilft,..leider komm ich trotzdem nicht drauf! Kann mir jemand helfen?
Wenn ich Borel-Cantelli anwende, muss ich doch nur noch folgendes zeigen,oder?:
Für jedes [mm] \varepsilon [/mm] >0:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} [/mm] P(| [mm] M_{n}(w)/n| [/mm] < [mm] \varepsilon) [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
ja, aber hier komm ich schon nicht weiter..ideen?
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> Hallo ihr Lieben,
> ich glaube ich habs im falschen Unterforum gepostet,
> deswegen hier nochmal:
Hallo,
wenn so etwas passiert, kannst Du zu Deinem ersten Post eine Mitteilung schreiben, als Betreff "@mod: verschieben" oder ähnliches, und im Text mitteilen, wo es hin soll.
Normalerweise sehen wir das und handeln entsprechend.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:58 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Blech |
> Für jedes [mm]\varepsilon[/mm] >0:
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> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}[/mm] P(| [mm]M_{n}(w)/n|[/mm] < [mm]\varepsilon)[/mm] <
> [mm]\infty[/mm]
Das beweißt, daß [mm] $\left|\frac{M_n}{n}\right|<\varepsilon$ [/mm] für höchstens endlich viele n, was Dir nichts bringt, es ist das Gegenteil, von Deiner Annahme.
Du brauchst [mm] $\left|\frac{M_n}{n}\right|>\varepsilon$ [/mm] für endlich viele n, also
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} P\left(\left|\frac{M_n}{n}\right| > \varepsilon\right)< \infty$
[/mm]
[mm] $P\left(\left|\frac{M_n}{n}\right| > \varepsilon\right) [/mm] = [mm] P(|M_n|>n\varepsilon)$
[/mm]
das kriegt man auch durch:
[mm] $E|M_n|=\int_0^\infty P(|M_n|>x)\ [/mm] dx = [mm] \sum_{n=0}^\infty \int_{n\varepsilon}^{n(\varepsilon+1)} P(|M_n|>x)\ dx\geq \sum_{n=0}^\infty \varepsilon P(|M_n|>n\varepsilon)$
[/mm]
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Fr 12.12.2008 | | Autor: | Blech |
> [mm]\sum_{n=0}^\infty \int_{n\varepsilon}^{n(\varepsilon+1)} P(|M_n|>x)\ dx\geq \sum_{n=0}^\infty \varepsilon P(|M_n|>n\varepsilon)[/mm]
[mm] $P(|M_n|>x)$ [/mm] ist monoton fallend in x, also kann man jedes der Integrale durch das Rechteck mit den Seiten [mm] $\varepsilon$ [/mm] (=Intervallänge) und [mm] $P(|M_n|>n\varepsilon)$ [/mm] (=Wert der Funktion an der linken Intervallgrenze) nach oben abschätzen. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:20 Sa 13.12.2008 | | Autor: | julie |
mhhh aber ist da nicht ein Fehler drin? ich mein wenn die Funktion fallend ist, und du nimmst den linken "punkt" sozusagen..dann ist doch mein Recheck größer als das Integral? bzw wenn ich den rechten Punkt nehmen würde, dann hab ich da n+1 stehen..oder? mhh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:53 Sa 13.12.2008 | | Autor: | Blech |
Stimmt, macht aber für die Konvergenz hier keinen Unterschied, ob die Summe bei 0 oder 1 beginnt. Die Grenzen beim Integral sind auch etwas daneben. =)
Das wirkliche Problem ist, daß ich hier:
$ [mm] E|M_n|=\int_0^\infty P(|M_n|>x)\ [/mm] dx = [mm] \sum_{n=0}^\infty \int_{n\varepsilon}^{n(\varepsilon+1)} P(|M_n|>x)\ dx\geq \sum_{n=0}^\infty \varepsilon P(|M_n|>n\varepsilon) [/mm] $
bei [mm] $M_n$ [/mm] aus einem Index, über den summiert wird, eine Konstante gemacht habe. Damit funktioniert es so nicht.
(war urspr ein Beweis, für einen stetigen Prozeß; ich dachte man könnte das ganze recyclen, aber da hab ich nicht aufgepaßt)
Sorry.
ciao
Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:02 So 14.12.2008 | | Autor: | Blech |
Gnaa, ich hatte Dich ganz vergessen.
Das ganze sollte so funktionieren:
[mm] $|Z_i|$ [/mm] sind iid, und der Erwartungswert existiert, also gilt das Starke Gesetz der Großen Zahlen, und damit
[mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|Z_i| \xrightarrow{n\to\infty}E|Z_1|$ [/mm] f.s.
Dann mußt Du noch zeigen, daß
[mm] $\frac{|M_n|}{\sum_{i=1}^{n}|Z_i|}\xrightarrow{n\to\infty} [/mm] 0$ f.s.
was hoffentlich machbar ist [mm] ($|M_n|$ [/mm] ist ja Teil der unteren Summe; Du mußt nur zeigen, daß für iid Variablen keine Variable die Summe dominiert, was bei Beweisen des Zentralen Grenzwertsatzes auch gemacht wird)
Der Hauptknackpunkt ist, ob Ihr das SGGZ so stark formuliert habt, wie es oben benötigt wird.
ciao
Stefan
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nochmal 