f''(x)=0 warum trotzdem VZW? < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich würde mich freuen, wenn mir jemand folgende Frage beantworten könnte:
Also, wir haben gelernt und ich habe mcih hier informiert, dass wenn man eine Funktion auf Extremstellen untersucht und man erhält f'(x)= 0 und f''(x)=0 , kann trotzdem ein Extremum vorliegen, dass man mit dem VZW-Kriterium überprüfen kann.
Doch irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass wenn die zweite Ableitung = 0 ist trotzdem ein Extremum vorliegen kann. Ich dachte immer man untersucht damit das Krümmungsverhalten also f''(x)>0 Linkskurve / <0 Rechtskurve. Wenn die Funktion nun aber sich nicht "krümmt" wie soll dann ein Extremum zustande kommen? Wahrscheinlich ist es ganz simpel und ich stells mir nur falsch vor. Klärt mich auf 
Ach, noch was: Reicht es, mt der dritten ableitung einen Sattelpunkt zu überprüfen in diesem Fall [mm] f'''(x)\not=0 [/mm] und dann zu sagen: Es liegt ein Sattelpunkt vor also kein VZW für f'(x) an der Stelle x?
Zitat Matheraum: "Ist die 1. Ableitung =0 und ebenfalls die 2. Ableitung, so kann trotzdem ein Extrempunkt vorhanden sein.
In diesem Fall sollte die Monotonie untersucht werden - was natürlich auch für eine Funktion gilt, die an der zu untersuchenden Stelle NICHT differenzierbar ist.
(Beispiel: Die Funktion mit der Gleichung y=|x| hat an der Stelle x=0 ein relatives Minimum, obwohl die Funktion dort NICHT differenzierbar ist!)"
Noch eine Frage zu diesem Beispiel: Warum kann man die Funktion an der Stelle nicht differenzieren? Und warum liegt ein Minimum vor? Wie stellt man das fest bei dieser speziellen Funktion?
Ich wette, ich stehe mir mal wieder selbst im Weg. Aber so kurz vorm mündlichen Abitur stellt man sich die Fragen "Warum macht man das eigentlich?" "Was ist, wenn die danach fragen?" und deshalb hoffe ich man kann mir helfen.
Danke schon mal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:44 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
> Doch irgendwie kann ich mir nicht vorstellen, dass wenn die
> zweite Ableitung = 0 ist trotzdem ein Extremum vorliegen kann.
Betrachte mal die "Klassiker"-Funktion $y \ = \ [mm] x^4$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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Witzig, kurz nachdem ich den Artikel geschrieben habe, habe ich mir auch überlegt, für welche Funktionen das überhaupt gilt. Bei [mm] x^{4} [/mm] ist das ja so
[mm] f'(x)=4x^{3}=0
[/mm]
[mm] x^{3}=0
[/mm]
x=0
f''(0)=0
f'''(0)=0 => Kein Sattelpunkt (könnte man hieraus schon ableiten, dass es ein Extremum sein muss?)
Trotzdem findet ein VZW von f'(x) an der Stelle 0 statt (f' ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse in (0/0), oder?) und da es ne Parabel ist, die nach oben göffnet ist, handelt es sich um einen TP
Danke für die Anregung. Ich weiß also, dass man mit dem VZW überprüfen muss, ob Extremum und TP oder HP (zumindest wenns nicht offensichtlich ist) und anscheinend reicht da die HB nicht. Nur irgendwie versteh ich immer noch nciht warum. Die Funktion geht doch eigentlich über in eine Linkskurve. Warum wird das durch f' nicht angezeigt?
Danke für die Mühe!
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Hallo Laura1988,
> Witzig, kurz nachdem ich den Artikel geschrieben habe, habe
> ich mir auch überlegt, für welche Funktionen das überhaupt
> gilt. Bei [mm]x^{4}[/mm] ist das ja so
> [mm]f'(x)=4x^{3}=0[/mm]
> [mm]x^{3}=0[/mm]
> x=0
>
> f''(0)=0
>
> f'''(0)=0 => Kein Sattelpunkt (könnte man hieraus schon
> ableiten, dass es ein Extremum sein muss?)
>
> Trotzdem findet ein VZW von f'(x) an der Stelle 0 statt (f'
> ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet die x-Achse
> in (0/0), oder?) und da es ne Parabel ist, die nach oben
> göffnet ist, handelt es sich um einen TP
>
> Danke für die Anregung. Ich weiß also, dass man mit dem VZW
> überprüfen muss, ob Extremum und TP oder HP (zumindest
> wenns nicht offensichtlich ist) und anscheinend reicht da
> die HB nicht. Nur irgendwie versteh ich immer noch nciht
> warum. Die Funktion geht doch eigentlich über in eine
> Linkskurve. Warum wird das durch f' nicht angezeigt?
Nun, weil f' eine monoton steigende Funktion. ist.
Es gilt [mm]f'\left(0\right)=f''\left(0\right)=f'''\left(0\right)=0[/mm] und [mm]f^{\left(4\right)}\left(0\right) \not= 0[/mm]
Das heißt, daß Du [mm]f^{\left(4\right)}\left(0\right)[/mm] zu untersuchen hast.
Ist [mm]f^{\left(4\right)}\left(0\right) >0[/mm], dann handelt es sich um ein Minimum.
Ist [mm]f^{\left(4\right)}\left(0\right) <0[/mm], dann handelt es sich um ein Maximum.
>
> Danke für die Mühe!
>
Gruß
MathePower
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ich habe mich vertippt... Ich meinte warum wird das durch f'' nicht angezeigt?
Das mit dem immer weiter ableiten verstehe ich nicht. Ich kann mir das so schlecht vorstellen. Für mich ergibt die erste Ableitung Sinn, sie bestimmt die Steigung, somit kann man beim VZWK erkennen, wo sie z.B. aufhört zu fallen und anfängt zu steigen => absolutes Minimum, und f'' zeigt an, wie sie sich krümmt also links herum oder rechtsherum. Aber bei f''(x)=12 [mm] x^2 [/mm] hat man eine waagerechte Tangente, da es sich wieder um eine Parabel handelt. Trotzdem krümmt sie sich ja nach links....
Ach, irgendwie weiß ich auch nicht. in diesem Fall kann man das ja mit den Parabeln erklären, aber das ist ja nicht immer so absehbar, oder?
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Hallo Laura1988,
> ich habe mich vertippt... Ich meinte warum wird das durch
> f'' nicht angezeigt?
Weil f'' an der Stelle 0 keinen VZW aufweist.
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> Das mit dem immer weiter ableiten verstehe ich nicht. Ich
> kann mir das so schlecht vorstellen. Für mich ergibt die
> erste Ableitung Sinn, sie bestimmt die Steigung, somit kann
> man beim VZWK erkennen, wo sie z.B. aufhört zu fallen und
> anfängt zu steigen => absolutes Minimum, und f'' zeigt an,
> wie sie sich krümmt also links herum oder rechtsherum. Aber
> bei f''(x)=12 [mm]x^2[/mm] hat man eine waagerechte Tangente, da es
> sich wieder um eine Parabel handelt. Trotzdem krümmt sie
> sich ja nach links....
Das entscheidest Du wiederum über einen VZW von f'''.
Daß man hier solange ableitet, bis man auf eine Ableitung von f stößt, die an der Stelle [mm] x_{0} [/mm] (hier: [mm]x_{0}=0[/mm]) ungleich 0 ist, folgt aus der Taylor-Reihe von f.
>
> Ach, irgendwie weiß ich auch nicht. in diesem Fall kann man
> das ja mit den Parabeln erklären, aber das ist ja nicht
> immer so absehbar, oder?
Leider nein.
>
>
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:22 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Laura1988 |
Danke!
Also ich hab sie mir einfach mal aufgezeichnet und sie sieht aus wie ein V :D. so kann man sich das natürlich besser vorstellen.
Generell ist es nur so, dass ich werde erklären müssen, warum ich, wenn f'(x)=o und f''(x)=0 ist, das Vorzeichenwechselkriterium anwende und ich weiß nicht was ich dann sagen soll. Sowas wie "da f'''(x) auch = 0 handelt es sich nicht um einen Sattelpunkt und deshalb muss geprüft werden, ob es sich bei der Stelle um ein lok. Maximum oder Minimum handelt?"
"die HB greift hier nicht, aber es könnte sich dennoch um ein Extremum handeln, weil ???"
Da kann ich ja nicht mit konkreten Beispielen kommen.
Mir gehts halt darum, mich möglichst gut "zu verkaufen" und ich kann mir das an konkreten Funktionen vorstellen, aber manche krieg ich auch nicht auf die schnelle skizziert. Oder handelt es sich wenn dieser Fall eintritt immer um so spezielle funktionen, wo man das logisch erklären kann (wie bei der Parabel [mm] x^4)
[/mm]
Wäre für weitere hilfe und "allgemeine Sätze" dankbar.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:45 Sa 10.05.2008 | | Autor: | MathePower |
Hallo Laura1988,
> Danke!
> Also ich hab sie mir einfach mal aufgezeichnet und sie
> sieht aus wie ein V :D. so kann man sich das natürlich
> besser vorstellen.
>
> Generell ist es nur so, dass ich werde erklären müssen,
> warum ich, wenn f'(x)=o und f''(x)=0 ist, das
> Vorzeichenwechselkriterium anwende und ich weiß nicht was
> ich dann sagen soll. Sowas wie "da f'''(x) auch = 0 handelt
> es sich nicht um einen Sattelpunkt und deshalb muss geprüft
> werden, ob es sich bei der Stelle um ein lok. Maximum oder
> Minimum handelt?"
> "die HB greift hier nicht, aber es könnte sich dennoch um
> ein Extremum handeln, weil ???"
Hier möglicherweise ein VZW von f' an der Stelle x vorliegt.
> Da kann ich ja nicht mit konkreten Beispielen kommen.
>
> Mir gehts halt darum, mich möglichst gut "zu verkaufen" und
> ich kann mir das an konkreten Funktionen vorstellen, aber
> manche krieg ich auch nicht auf die schnelle skizziert.
> Oder handelt es sich wenn dieser Fall eintritt immer um so
> spezielle funktionen, wo man das logisch erklären kann (wie
> bei der Parabel [mm]x^4)[/mm]
>
> Wäre für weitere hilfe und "allgemeine Sätze" dankbar.
Das ist so wie ich da geschrieben habe.
Gilt
[mm]f'\left(x_{0}\right)=f''\left(x_{0}\right)=\dots=f^{\left(n-1\right}\left(x_{0}\right)=0[/mm]
und [mm]f^{n}\left(x_{0}\right) \not=0[/mm]
Dann befindet sich an der Stelle [mm]x_{0}[/mm]
ein Extremum, falls n gerade ist.
ein Sattelpunkt, falls n ungerade ist.
Dies folgt aus der Taylor-Reihe von f an der Stelle [mm]x_{0}[/mm]
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:32 Sa 10.05.2008 | | Autor: | Laura1988 |
Danke, das hilft mir unheimlich weiter!
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