extremstellen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:28 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgendem beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab da mal die ableitungen gebildet:
[mm] f_x=-6*y^2+14*x+118
[/mm]
[mm] f_{xx}=14
[/mm]
[mm] f_y=2*y*(-6*x-48)
[/mm]
[mm] f_{yy}=-12*x-96
[/mm]
[mm] f_{xy}=-12*y
[/mm]
1. wäre ja mal die ersten ableitungen null setzen, also:
[mm] f_x=0=-6*y^2+14*x+118
[/mm]
[mm] f_y=0=2*y*(-6*x-48)
[/mm]
da hänge ich jetz, wie rechne ich das aus da ich ja x und y in einer glg habe?
danke!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:40 Fr 28.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
die müssen doch beide 0 sein! die untere ist ein Produkt? kannst du deren Nullstellen, Dann die obere !
wenn die untere nicht so einfach wär hättest du halt 2 Gl mit 2 Unbekannten!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:01 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
dh ich erhalte aus [mm] f_y=0:
[/mm]
x=-8 und y=0
und über [mm] f_x=0 [/mm] dann:
x=-59/7 und y=1
oder?
also dann 4 punkte die ich weiter betrachten muss?
danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo!
>
> dh ich erhalte aus [mm]f_y=0:[/mm]
>
> x=-8 und y=0
>
> und über [mm]f_x=0[/mm] dann:
>
> x=-59/7 und y=1
wieso y=1? Nein:
(II) gilt genau dann, wenn $x=-8$ ODER $y=0$. Du musst diese beiden Fälle betrachten:
Im Falle $y=0$ folgt mit (I) dann [mm] $x=\frac{-118}{14}=-\frac{59}{7}$
[/mm]
Der kritische Punkt ist hier also gegeben durch $(-59/7;0)$.
> oder?
>
> also dann 4 punkte die ich weiter betrachten muss?
Wieso vier Punkte? Also einen kritischen Punkte haben wir im Falle $y=0$. Jetzt müssen wir noch den Fall $x=-8$ betrachten. Das in (I') (wobei wir (I') erhalten, indem wir (I) durch 2 teilen) eingesetzt liefert:
[mm] $-3y^2+7*(-8)+59=0$
[/mm]
Daraus folgen zwei Werte [mm] $y_{1,2}$, [/mm] die die Gleichung lösen, und Du erhälst zwei weitere kritische Punkte
[mm] $(-8,y_1)$ [/mm] und [mm] $(-8,y_2)$
[/mm]
P.S.:
Achso, jetzt sehe ich erst, dass Du gar nicht $(-59/7;1)$ meintest, sondern oben das $x=-59/7$ im Falle $y=0$ meintest und da irgendwie die $x$ und $y$-Werte durcheinandergeworfen zu haben scheinst. Ich bin gerade verwirrt, glaubte, eben etwas anderes gelesen zu haben als da in Wahrheit steht. Sorry! Naja, jedenfalls hast Du die kritischen Punkte ja nun korrekt berechnet, siehe unten 
(Allerdings sind es nicht vier, sondern drei kritische Punkte, oder verzähl' ich mich hier andauernd?!  ).
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:04 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
um Leduarts Weg nochmal zu verdeutlichen (und eine kleine formale Korrektur zu Deiner Rechnung):
(I) $ [mm] f_x\blue{(x,y)}=0=-6\cdot{}y^2+14\cdot{}x+118 [/mm] $
(II) $ [mm] f_y\blue{(x,y)}=0=2\cdot{}y\cdot{}(-6\cdot{}x-48) [/mm] $
(I) und (II) müssen beide (das heißt: gleichzeitig) erfüllt sein, damit $(x,y)$ kritischer Punkt für $f$ ist. (II) gilt genau dann, wenn $x=-8$ oder $y=0$.
1. Fall:
$y=0$ Dann setze das in (I) ein und berechne damit das zugehörige $x$.
In diesem Fall hat der kritische Punkt also die Koordinaten:
(?,0) [mm] ($\leftarrow$ bitte ergänzen)
2. Fall:
$x=-8$
Setze das in (I) ein und berechne die zugehörigen $x$.
In diesem Falle haben die kritischen Punkte also die Koordinaten:
(-8,?), (-8,?) ($\leftarrow$ bitte ergänzen)
Du erhälst hier also insgesamt drei kritische Punkte $(x,y)$.
Gruß,
Marcel
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke, sozusagen die punkte:
P=(-59/7 / 0)
Q=(-8 / +1)
R=(-8 / -1) oder?
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> hallo!
>
> danke, sozusagen die punkte:
>
> P=(-59/7 / 0)
> Q=(-8 / +1)
> R=(-8 / -1) oder?
genau, absolut korrekt
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:34 Fr 28.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
das heisst ich habe mal die 3 Punkte:
P=(-59/7;0)
Q=(-8,1)
R=(-8;-1)
1) ob es ein relativer Extremwert ist:
[mm] \Delta=f_{xx}*f_{yy}-f^2_{xy}
[/mm]
>0 rel. Extremwert
<0 Sattelpunkt
[mm] \Delta=14*(-12*x-96)+12*y
[/mm]
--> die 3 Punkte eingesetzt:
[mm] \Delta_P=72
[/mm]
[mm] \Delta_Q=12
[/mm]
[mm] \Delta_R=-12
[/mm]
--> P und Q relativer Extremwert.
´wenn ich dann die Punkte in die zweite Ableitung von x einsetze:
[mm] f_{xx}(P)=14
[/mm]
[mm] f_{xx}(Q)=14
[/mm]
also P und Q beide relat. Minimum oder?
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 04:00 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Dagobert!
> [mm]\Delta=f_{xx}*f_{yy}-f^2_{xy}=14*(-12*x-96)+12*y[/mm]
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") [mm] $\Delta [/mm] \ = \ [mm] 14*(-12*x-96)-\red{(-}12*y\red{)^2} [/mm] \ = \ [mm] 14*(-12*x-96)-\red{144}*y^{\red{2}} [/mm] \ = \ [mm] -168*(x+8)-144*y^2$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:06 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
Danke, hab das ausgebessert.
hätte ne frage zum 2. punkt:
[Dateianhang nicht öffentlich]
weiß nicht so richtig was ich da machen muss, muss ich da jetzt den wert (0,0) in die ableitungen einsetzen? bzw wie mach ich das da dann mit dem radius?
danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo,
ich habe mir nicht alles durchgelesen, gehe aber davon aus, daß Du die lokalen Extrema auf [mm] \IR^2 [/mm] bereits bestimmt hast, die brauchen wir später.
Mit dem Kreis kommt nun eine Nebenbedingung ins Spiel, in Deiner Mitschrift wird das unter "Extrema mit Nebenbedingungen" stehen.
Ich nehme stark an, daß Du diese Aufgabe mit den Lagrange-Multiplikatoren lösen sollst.
Aber das ist Zukunftsmusik - denn Du mußt ja nun erstmal die Nebenbedingung "auf diesem Kreis" mithilfe einer Gleichung ausdrücken.
Hierzu solltest Du Dich über die Kreisgleichung informieren. Wie lautet denn die Gleichung für die Punkte, die auf einem Kreis um (a,b) mit dem Radius r liegen? (Nachschlagen!)
> weiß nicht so richtig was ich da machen muss, muss ich da
> jetzt den wert (0,0) in die ableitungen einsetzen?
Was sollte das denn bringen? Wie kommst Du auf die Idee, den Kreismittelpunkt in irgendwelche Ableitungen einzusetzen, wenn Du Dich für den Kreisrand interessierst? Naja, daß das vermutlich nicht die Strategie ist, die Dich zur Lösung bringt, ahntest Du ja schon selbst.
Zusammengefaßt:
1.Kreisgleichung aufstellen,
2.schlau machen über Extremwerte mit Randbedingung,
3.erste Ansätze,
4.nachfragen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
also:
1. Kreisglg:
[mm] x^2+y^2=9
[/mm]
2. hab da mal einen ansatz probiert über lagrange:
[mm] L(x,y,\lambda_1)=[y^2*(-6*x-48)+7*x^2+118*x]+\lambda_1*(9-x^2-y^2)
[/mm]
und da muss ich jetz die ableitungen nach x, y und [mm] \lambda_1 [/mm] bilden oder?
danke!
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> 1. Kreisglg:
>
> [mm]x^2+y^2=9[/mm]
Hallo,
die stimmt fast. Es muß der Radius ins Quadrat.
>
> 2. hab da mal einen ansatz probiert über lagrange:
>
> [mm]L(x,y,\lambda_1)=[y^2*(-6*x-48)+7*x^2+118*x]+\lambda_1*(9-x^2-y^2)[/mm]
>
> und da muss ich jetz die ableitungen nach x, y und
> [mm]\lambda_1[/mm] bilden oder?
Ja - zuvor die Nebenbedingung berichtigen.
Dann: partielle Ableitungen bilden, =0 setzen, Gleichungssystem lösen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:26 Sa 29.03.2008 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
danke, hab das mal geändert und die ableitungen gebildet:
[mm] g=[y^2*(-6*x-48)+7*x^2+118*x]+\lambda_1*(81-x^2-y^2)
[/mm]
[mm] g_x=0=-6*y^2+14*x+118-2*\lambda_1*x
[/mm]
[mm] g_y=0=2*y*(-6*x-48)-2*\lambda_1*y
[/mm]
[mm] g_\lambda_1=0=81-x^2-y^2
[/mm]
hab das mal probiert auflösen und wäre auf folgende zwei punkte gekommen:
[mm] (x,y,\lambda_1)=(9,0,122/9) [/mm] und [mm] (x,y,\lambda_1)=(-9,0,4/9) [/mm] ?
danke!
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> hallo!
> danke, hab das mal geändert und die ableitungen gebildet:
>
> [mm]g=[y^2*(-6*x-48)+7*x^2+118*x]+\lambda_1*(81-x^2-y^2)[/mm]
>
> [mm]g_x=0=-6*y^2+14*x+118-2*\lambda_1*x[/mm]
>
> [mm]g_y=0=2*y*(-6*x-48)-2*\lambda_1*y[/mm]
>
> [mm]g_\lambda_1=0=81-x^2-y^2[/mm]
>
> hab das mal probiert auflösen und wäre auf folgende zwei
> punkte gekommen:
>
> [mm](x,y,\lambda_1)=(9,0,122/9)[/mm] und [mm](x,y,\lambda_1)=(-9,0,4/9)[/mm]
> ?
>
Hallo,
ich gehe mal davon aus, daß Du richtig gerechnet hast und beschränke mich aufs Wesentliche.
Das [mm] \lambda [/mm] ist lediglich eine Hilfsvariable, welche im weiteren Verlauf nicht mehr interessiert.
Man interessiert sich nur für die errechneten Punkte (x,y), in Deinem Falle also für (9,0) und (-9,0).
Benötigen tust Du nun noch die zugehörigen Funktionswerte, welche Du durch Einsetzen in die Funktion f erhältst. Nun kennst Du Minimum und Maximum auf dem Rand des Gebietes.
Schauen mußt Du nun noch, welche der zuvor berechneten Extrema im Inneren des Kreises liegen, und welches die zugehörigen Funktionswerte sind. Durch Vergleichen der Funktionswerte findest Du dann das größte der Maxima und das kleinste der Minima. Das sind dann Deine globalen Extremwerte.
Gruß v. Angela
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Ich wollte mal wieder ein Bild spenden.
Erst die normale Funktion (x/y Intervall [-16,16]):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und nun nur definiert im Kreisgebiet (die roten Punkte stellen die dar, die dann wahrscheinlich gesucht sind):
[Dateianhang nicht öffentlich].
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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