exp(x) für x -> unendlich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Ich soll zeigen, dass [mm] exp(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} [/mm] für [mm] x\rightarrow\infty [/mm] gegen unendlich strebt und für [mm] x_k\rightarrow-\infty [/mm] gilt [mm] exp(x_k)\rightarrow-\infty [/mm] (für [mm] x\in\IR) [/mm] |
Ableitungen oder die Folgendarstellung der exp-Funktion darf ich nicht benutzen.
Den ersten Teil habe ich bereits geschafft, indem ich gezeigt habe, dass für jedes [mm] c\in\IR [/mm] ich ein x finde, sodass exp(x)>c ist. Und für [mm] c\rightarrow\infty [/mm] bekomme ich dann meine Behauptung.
Beim zweiten Teil schaffe ich es aber irgendwie nicht, ein x so zu finden oder meine Reihe so abzuschätzen, dass ich exp(x)<c bekomme. Hat jemand eine Idee?
Oder gibt es vielleicht sogar eine einfachere Methode, die Behauptung zu beweisen?
Danke schonmal!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 So 06.02.2011 | | Autor: | pyw |
Hallo,
> Ich soll zeigen, dass [mm]exp(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}[/mm]
> für [mm]x\rightarrow\infty[/mm] gegen unendlich strebt und für
> [mm]x_k\rightarrow-\infty[/mm] gilt [mm]exp(x_k)\rightarrow-\infty[/mm] (für
> [mm]x\in\IR)[/mm]
Die zweite Behauptung stimmt gar nicht und lässt sich daher sehr schlecht zeigen 
Es gilt [mm] \lim_{x\to\infty}exp(-x)=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{exp(x)}=0
[/mm]
Analog für entsprechend konvergierende Folgen.
Gruß, pyw
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