exp(-1/x^2), Diff.barkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Es geht darum, dass ich zeigen möchte, dass die Funktion [mm] $\phi [/mm] : [mm] \IR \rightarrow \IR$ [/mm] mit:
[mm] $\phi(x) [/mm] = [mm] \begin{cases} 0, & \mbox{für } x = 0 \\ exp(-1/x^2), & \mbox{sonst}\end{cases}$
[/mm]
unendlich oft stetig partiell differenzierbar ist.
Zunächst einmal sind die Ableitungen von [mm] $exp(-1/x^2)$ [/mm] alle von der Form:
[mm] $r(x)*exp(-1/x^2),$ [/mm] wobei $r(x)$ eine rationale Funktion ist.
Also gilt:
[mm] $\limes_{x\rightarrow 0} \phi^{(n)}(x) [/mm] = 0$ für alle $n [mm] \in \IN.$
[/mm]
Wie beweise ich jetzt, dass [mm] $\phi^{(n)}(0) [/mm] = 0$, und existiert?
vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:49 Sa 17.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. warum redest du von partiell integrierbar?
2. du hast doch den beweis schon hingeschrieben, oder geht es darum, dass [mm] r(x)*e^{-x^2} [/mm] fuer x gegen 0, 0 ergibt?
bzw. dass [mm] x^n*e^-x^2 [/mm] fuer x gegen unendlich 0 ergibt.
Taylorreihe fuer die efkt oder Induktion nach n.
Gruss leduart
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1) x) ein Relikt aus AnaII.
2) wenn ich Dich richtig verstehe, nutzt Du aus, dass die Taylorreihe abs. konv. und ziehst den Limes in die Summe?
Damit stimmt der Grenzwert der Ableitungen gegen 0 mit (0/0) überein, also stetig fortsetzbar in 0.
Danke für die Antwort
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Sa 17.10.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> 2) wenn ich Dich richtig verstehe, nutzt Du aus, dass die
> Taylorreihe abs. konv. und ziehst den Limes in die Summe?
> Damit stimmt der Grenzwert der Ableitungen gegen 0 mit
> (0/0) überein, also stetig fortsetzbar in 0.
Es geht um die Taylorreihe der Exponentialfunktion, nicht um die von deiner Funktion [mm] $\phi$! [/mm] (Die Taylorreihe von [mm] $\phi$ [/mm] um 0 konvergiert zwar, aber identisch gegen 0, also nicht gegen deine Funktion.) leduart will die Taylorreihe nutzen, um [mm] $\lim_{x\to\infty} x^n e^{-x^2} [/mm] = 0$ zu zeigen.
LG Felix
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 17.10.2009 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Wie beweise ich jetzt, dass [mm]\phi^{(n)}(0) = 0[/mm], und
> existiert?
Induktion?
[mm] $\phi^{(n)}(0) [/mm] = [mm] \lim_{x\to 0}\frac{\phi^{(n-1)}(x) - \overbrace{\phi^{(n-1)}(0)}^{=0\text{ nach IV}}}{x}$
[/mm]
$= [mm] \lim_{x\to 0} \underbrace{\frac{r(x)}{x}}_{\text{immer noch rational}} exp(-1/x^2) [/mm] = 0$
ciao
Stefan
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