eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:54 Mo 15.12.2008 | | Autor: | ulla |
| Aufgabe | | z.z. ist [mm] \bruch{n}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] -> e (n-> [mm] \infty) [/mm] |
Ich habe diese Aufgabe in keinem anderen Forum gestellt.
Kann mir bitte jemand helfen diese Aufgabe zu lösen? Habe auch im Internet keinen Anhaltspunkt dazu gefunden.
Danke schon im Vorraus.
|
|
| |
|
Hallo ulla,
Mal schauen, ob man diesen Bruch nicht noch ein wenig verändern kann:
[mm] \bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}=\wurzel[n]{\bruch{n^{n}}{n!}}
[/mm]
Das sieht meiner Meinung nach fast so wie ein geometrisches Mittel aus: [mm] \wurzel[n]{\bruch{n*n*...*n}{n*(n-1)*n-2)*...*1}}
[/mm]
Das geometrische Mittel ist kleiner als das Arithmetische Mittel, und größer als das Harmonische.
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n*n*...*n}{n*(n-1)*(n-2)*...*1}} [/mm] < [mm] \bruch{\bruch{n}{n}+\bruch{n}{n-1}+...+\bruch{n}{1}}{n} \Rightarrow \bruch{n*n*...*n}{n*(n-1)*(n-2)*...*1} [/mm] < [mm] \wurzel[n]{\bruch{\bruch{n}{n}+\bruch{n}{n-1}+...+\bruch{n}{1}}{n}}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n*n*...*n}{n*(n-1)*(n-2)*...*1}} [/mm] > [mm] \bruch{n}{{\bruch{1}{n}}+...+\bruch{n-1}{n}+\bruch{n}{n}} [/mm] > [mm] \bruch{n}{\bruch{1+2+...+(n-1)+n}{n}}
[/mm]
Ich hab dir hier erstmal alle Abschätzungen aufgeschrieben bie mir aufgefallen sind...
Man könnte versuchen zu zeigen, dass [mm] |\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}-e| [/mm] gegen Null geht.
[mm] |\bruch{n}{\wurzel[n]{n!}}-e|=|\wurzel[n]{\bruch{n^{n}}{n!}}-(1+\bruch{1}{n})^{n}|=|\wurzel[n]{\bruch{n^{n}}{n!}}-\summe_{k=0}^{n}\vektor{n \\ k}(\bruch{1}{n})^{k}|
[/mm]
Ich selber stocke auch an diesem Punkt, aber vllt hilft es dir ja weiter.
|
|
|
| |
|
Hallo ulla!
Verwende hier die ![[]](/images/popup.gif) Stirling-Formel mit:
$$n! \ [mm] \approx [/mm] \ [mm] \wurzel{2*\pi*n}*\left(\bruch{n}{e}\right)^n$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
