eulersche Zahl < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 02.06.2006 | | Autor: | Hansmaul |
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}(1+ \bruch{1}{n})^{n}=\limes_{n\rightarrow\infty}(1+\bruch{1}{n})^{n+1}=e [/mm] |
Ich habs mal mit der Definition der Zahl e [mm] (\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k!}) [/mm] und dem Binomischen Lehrsatz [mm] (\summe_{i=1}^{n}\vektor{n \\ i}*a^{n-i}*b^{i}) [/mm] versucht, komme aber irgendwie nicht weiter. Hat vielleicht irgendjemand eine Idee, wie ich das beweisen kann?
Danke schonmal im voraus!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:23 Fr 02.06.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Falls ihr schon mit Ableitungen rechnet:
[mm] $((1+\bruch{x}{n})^n)'=(1+\bruch{x}{n})^{n-1}$
[/mm]
und [mm] $(\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^i}{i!})'=\summe_{i=1}^{\infty}\bruch{x^i}{i!}$
[/mm]
das angewendet auf x=1 und die Gleichheit der lim, allerdings mit n-1 statt n+1 im Exponenten.
Gruss leduart
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Also erst mal danke für die Antwort, aber leider verstehe ich nicht, wie mir das weiterhelfen soll, weil ich ja zeigen soll, dass der Grenzwert der Zahl e entspricht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mo 05.06.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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