euler-mascheroni-konstante < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Di 10.06.2008 | | Autor: | lula |
Hallo zusammen,
ich will zeigen, dass die Folge [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}-ln(n) [/mm] konvergiert. Angefangen habe ich folgendermaßen:
bekannt: [mm] \bruch{1/n}{1+1/n}\le ln(1+1/n)\le1/n
[/mm]
Als erstes will ich zeigen, dass [mm] x_n [/mm] monoton beschränkt ist: [mm] x_{n+1}\le x_{n} \gdw x_{1+1}-x_{n} \le [/mm] 0
[mm] x_{n+1}-x_{n}=\bruch{1}{n+1}-ln(n+1)-ln(n)\le [/mm] 0 Also ist [mm] x_{n} [/mm] monoton fallend und es bleibt noch zu zeigen, dass [mm] x_{n} [/mm] beschränkt ist und hier komme ich grade nicht weiter, vielleicht kann mir da ja jemand helfen...?Wäre echt sehr nett!
LG, Lula
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Hallo Lula,
ich glaube nicht, dass Du so weiter kommst,
übrigends: das ist falsch:$ [mm] x_{n+1}-x_{n}=\bruch{1}{n+1}-ln(n+1)-ln(n)\le [/mm] $
am Ende muß es +ln(n) heißen.
Du hast:$ [mm] \bruch{1/n}{1+1/n}\le ln(1+1/n)\le1/n [/mm] $.
Stze an = 1/n -ln(1+1/n)),
dann fogt aus obigem
0<an<1/n -1/(n+1)
Nun ist doch xn = a1+a2+...+an
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:02 Di 10.06.2008 | | Autor: | lula |
Danke für die schnelle Antwort. Also starte ich mal einen neuen Versuch:
Es ist [mm] x_{n+1}-x_{n}=\frac{1}{n}-ln(\frac{n+1}{n})>\frac{1}{n}-(1+1/n-1)=0 [/mm] Daraus folgt, dass [mm] x_{n} [/mm] monoton wachsend ist. Und da für alle n El. N gilt: [mm] 0=x_{1}
Grüße, Lula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:35 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Wieso ist Deine Folge nach oben beschränkt ?
Warum gehst Du nicht auf meinen obigen Vorschlag ein ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 10.06.2008 | | Autor: | lula |
Ich dachte, die Beschränktheit ergibt sich wg [mm] 0=x_{1}
Bei deinem Vorschlag habe ich ehrlich gesagt noch nicht so ganz verstanden, wie das gemeint ist bzw. funktionieren soll. Über Erklärungen bin ich aber natürlich immer sehr dankbar!
LG, Lula
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:03 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] 0=x_{1}
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:15 Di 10.06.2008 | | Autor: | lula |
Na gut, stimmt. Und wenn ich noch eine Folg wähle, z.B. [mm] y_{n}=x_{n}+\frac{1}{n}? [/mm] Daraus ergibt sich doch dann analog zur ersten Folge, dass [mm] y_{n} [/mm] monoton fallend ist und damit hätte ich dann die Konvergenz nachgewiesen, weil [mm] 0=x_{1}
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:16 Di 10.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Nein !
Probiere doch mal meinen obigen Vorschlag.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:23 Di 10.06.2008 | | Autor: | lula |
Ich hätte dann: [mm] y_{n}-y_{n+1}=ln(\frac{n+1}{n})-\frac{1}{n+1}>\frac{1/n}{1+1/n}-\frac{1}{n+1}=0 [/mm] Also ist die Folge nach unten beschränkt und das, was ich eben vorher geschrieben habe stimmt, bzw. ich sehe den Fehler nicht...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 12.06.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
