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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Sa 15.12.2007 | | Autor: | Assauer |
| Aufgabe | Seien a < b natürliche Zahlen. Bei einem Experiment möge die Zufallsvariable X jeden der Werte a, a+1, . . . , b mit gleicher Wahrscheinlichkeit p = 1/(b−a+1)
annehmen können. Das Experiment werde n-mal hintereinander ausgeführt, wobei die Einzelexperimente unabhängig seien. Sei Xi der Ausgang des i-ten Experiments. Um den Mittelwert c = (a + b)/2 zu bestimmen, bieten sich die Schätzfunktionen
tn(x1, . . . , xn) = (x1 + . . . xn)/n bzw. sn(x1, . . . , xn) := ( max
1<i<n xi − min1<i<n xi)/2
an. Untersuche, ob diese Schätzfunktionen erwartungstreu sind. |
Ich habe diese Frage in keinen Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
Hi und zwar geht es um oben genannte Aufgabe.
Habe diesmal leider nicht so die Ahnung und bitte euch daher um Hilfe:
Und zwar habe ich mir folgendes gedacht:
zu erst mal E(X) (Erwartungswert) bestimmen
dürfte a+b/2 sein wenn ich mich nicht irre.
dann max und min bestimmen, aber da fängt es an schon zu hapern und habe keine Ahnung mehr, was ich machen soll.
Weiß einer weiter und kann mir behilflich sein?
ICH DANKE SCHONMAL ALLEN DIE MIR BEHILFLICH SIND!!!
Schöne Grüße und ein schönes WE noch!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 So 16.12.2007 | | Autor: | Assauer |
Also ich habe mal bissel versucht und habe nun folgendes noch:
Erstmal bezeichnen:
Max(x1,...,xn) = Y
Min(x1,...,xn) = Z
Also kann man ja Dichtefunktionen aufstellen:
fY(X) = y*f(X [mm] (1-E(X))^{n-1}= [/mm] y*f(X) [mm] (1-a+b/2)^{n-1}
[/mm]
und fZ(X) = [mm] z*f(X)*(E(X))^{n-1} [/mm] = z*f(X) [mm] (a+b/2)^{n-1}
[/mm]
nun wie geh ich den vor um die Aufgabe zu lösen?
Die Dichtefunktionen gleichsetzen oder was?
wenn ja wie bestimme ich den y und z und mein f(x) bzw. falls ich die wirklich gleichsetzen sollten fehlt ja nur noch mein y und z, also würde das reichen, da sich die f(x) rauskürzen würden, aber ob man das so macht weiß ich nicht.
Eine Antwort bis morgen 9 Uhr morgens würde auch noch klappen, hauptsache ich weiß wie das geht, weil wir am Freitag einen Test darüber schreiben und mich doch schon interessieren würde, wie das klappt, damit ich dort auch Bescheid weiß.
MfG
Assauer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:34 So 16.12.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Assauer,
zunaechst ein ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Verteilungsfunktion des Maximums ist [mm] $F^n(x)$, [/mm] die des Minimums
ist [mm] $1-(1-F(x))^n$, [/mm] siehe hier:
https://matheraum.de/read?i=341589
Dabei ist F die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen [mm] $X_i$. [/mm] Hier ist
$F(a)=1/(M+1)$, $F(a+1)=2/(M+1)$,...,$F(b-1)=M/(M+1)$, $F(b)=1$, wobei
ich unterstelle $b=a+Mb$. Hieraus kann man die
Wahrscheinlichkeitsfunktion des Maximums Y ableiten:
[mm] $P(Y=a)=(1/(M+1))^n$, $P(Y=a+1)=(2/(M+1))^n-(1/(M+1))^n$,...,
[/mm]
[mm] $P(Y=b-1)=(M/(M+1))^n-((M-1)/(M+1))^n$,
[/mm]
[mm] $P(Y=b)=1-(M/(M+1))^n$. [/mm] Versuche nun, [mm] $\operatorname{E}[Y]=\sum_{y=a}^byP(Y=y)$ [/mm] auszurechnen.
vg
Luis
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